Комбинированный метод (хорд и касательных).

Пусть сохраняют постоянные знаки на отрезке . Объединяя способ пропорциональных частей (метод хорд) и метод Ньютона (метод касательных), получаем метод, на каждом этапе которого находим значения по недостатку и значения по избытку точного корня уравнения .

Теоретически возможны четыре случая:

1). ;

2). ;

3). ;

4). .

Ограничимся рассмотрением 1-го случая. Остальные случаи изучаются аналогично.

Итак, пусть при . Полагаем ; ,

и (метод хорд),

(метод касательных). (14.15)

Очевидно, что , поэтому

. (14.16)

Если допустимая абсолютная погрешность приближенного корня задана заранее и равна , т.е. , то процесс сближения прекращается в тот момент, когда будет обнаружено, что . По окончании процесса за значение корня лучше всего взять среднее арифметическое полученных последних значений: .

Пример. Вычислить с точностью до 0, 0005 единственный положительный корень уравнения .

Решение. Из самого уравнения видно, что корни надо искать в окрестности точки . Находим, что . Поэтому .
Имеем: и Видим, что в выбранном нами интервале т.е. знаки производных сохраняются.

Применим комбинированный метод, полагая и

Вычисляем ; .

Подставляя эти значения в уравнения (14, 15), получаем:

Оцениваем при :

.

Видим, что точность пока недостаточная. Поэтому находим следующую пару приближений:

;

.

Опять оцениваем .

Нужная степень точности достигнута.

За значение искомого корня можно принять .

Абсолютная погрешность складывается из и

ошибки округления .