Применение метода Монте-Карло к вычислению

определенных и кратных интегралов. ⁾

1. Вычисление определённых интегралов.

а). Требуется вычислить интеграл .

Пусть х-равномерно распределенная случайная величина,

плотность распределения вероятности этой случайной величины:

Согласно теории вероятностей математическое ожидание функции случайной величины определяется равенством

.

Поскольку , то имеем

. (13.27)

Приближенное значение математического ожидания можно найти, воспользовавшись формулой теоремы Чебышева

, (13.28)

где число испытаний, в каждом из которых получено значение случайной величины с равномерным распределением, Эти значения могут быть взяты из таблицы случайных величин (в ЭВМ есть программы генерации случайных величин с разными законами распределения). Из двух последних равенств следует формула вычисления определенного интеграла методом Монте-Карло

. (13.29)

----------------------------------------------------------

*) Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я.. Высшая математика в упражнениях и задачах. М. Высшая школа, 1980.

Пример: С помощью формулы (13.29) найти приближенное значение интеграла , взяв из таблицы случайных чисел подряд 30 значений и ограничиваясь тремя цифрами.

Решение. Расчетная таблица имеет следующий вид (для иллюстрации последовательности расчётов нет необходимости заполнять всю таблицу)

	0, 857	0, 457	0, 499	0, 762		0, 798	0, 637
	0, 734	0, 209	0, 249	0, 581		0, 637	0, 012

Таким образом,

откуда по формуле (13.29) получаем

.

Точное значение интеграла равно

.

Таким образом, абсолютная погрешность составила , а относительная погрешность .

б). Рассмотрим общий случай: пусть требуется вычислить .

С помощью равенства перейдем к новой переменной .

Тогда , (13.30)

где . Используя формулу (13.29) для приближенного вычисления интеграла в правой части равенства (13.30), получим

, (13.31)

где .

Расчетная таблица для вычисления определенного интеграла по формуле (13.31) имеет вид