Другие методы.

Формулы Ньютона Котеса. Они получаются путем замены подынтегральной функции интерполяционным многочленом Лагранжа с разбиением отрезка на равных частей. Получающиеся формулы используют значения подынтегральной функции в узлах интерполяции и являются точными для всех многочленов некоторой степени, зависящей от числа узлов. Точность формул растет с увеличением степени интерполяционного многочлена. Кстати, формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона являются частными случаями формул Ньютона – Котеса.

Метод Гаусса. Он не предполагает разбиения отрезка интегрирования на равные промежутки. Формулы численного интегрирования интерполяционного типа ищутся такими, чтобы они обладали наивысшим порядком точности при заданном числе узлов. Узлы и коэффициенты формул численного интегрирования ищутся из условий обращения в нуль их остаточных членов для всех многочленов максимально высокой степени (равносильно из условий минимизации остаточных членов при постоянстве количества узлов и степени многочлена).

Формула Эрмита является частным случаем формул Гаусса. Использует многочлены Чебышева для определения узлов. Вычисляются интегралы вида

.

Метод Маркова. Связан с формулами Гаусса. При выводе формул вводятся дополнительные предположения о совпадении точек разбиения отрезка по крайней мере с одним из его концов. (Вспомним, что полиномы Чебышева не дают узлов на концах отрезка интерполирования).

Формула Чебышева представляет интеграл в виде

.

При этом решается следующая задача: найти точки и коэффициент такие, при которых остаточный член обращается в нуль, когда функция является произвольным многочленом возможно большей степени.

Формула Эйлера использует не только значения подынтегральной функции в точках разбиения, но и ее производные до некоторого порядка на границах отрезка.