Погрешность численного дифференцирования.

Аппроксимируем искомую функцию некоторой приближенной функцией :

или . (12.7)

В качестве можно взять частичную сумму ряда (например, Тейлора) или

интерполяционную функцию. Тогда погрешность аппроксимации определяется остаточным членом ряда или интерполяционного многочлена.

Аппроксимированная функция может быть использована для

приближенного вычисления производной функции .

Дифференцируя равенство (12.7) последовательно можно найти значения

производных

В качестве приближенного значения производной порядка функции

можно принять соответствующее значение производной ф-ции , т.е.

.

Величина же даёт нам погрешность аппроксимации

производной.

Для функции, заданной в виде таблицы с шагом эта погрешность зависит от , и ее записывают в виде

Показатель степени к называется порядком погрешности аппроксимации

производной (или просто порядком аппроксимации). При этом предполагается, что

значение по модулю меньше единицы.

Оценку погрешности посмотрим на примере приближения с помощью ряда

Тейлора.

Пусть функция задана в виде таблицы

Запишем ряд Тейлора для с точностью до членов порядка :

= .

Таким образом, .

Найдем производную в точке .

Данная формула совпадает с (12.3), и является аппроксимацией первого порядка, что видно по остаточному члену .

Используем этот же ряд Тейлора для оценки погрешности приближений

формулами (12.5) и (12.6).

Положив получаем .

Аналогично при имеем .

,

. (12.8)

Здесь, полагая, что - ограниченная величина,

можно написать .

Вычитая второе равенство из первого, получаем

,

, или

.

Видно, что получилось приближение второго порядка. Поэтому можно сказать, что приближение производной с помощью центральных разностей имеет более высокий порядок.

Складывая равенства (12.8), находим оценку погрешности приближения

производной второго порядка.

, или

.

Видим, что и эта аппроксимация имеет второй порядок.