А). Пусть функция задана таблицей.

Задача обратного интерполирования заключается в том, чтобы по заданному значению функции определить соответствующее значение аргумента .

Будем считать, что в рассматриваемом интервале функция монотонна. Следовательно, задача имеет единственное решение. Она решается с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа. Для этого надо принять переменную за независимую, а считать функцией от . Написав по заданным узлам многочлен Лагранжа, можно определить по заданному . Остаточный член можно получить из остаточного члена формулы Лагранжа, меняя местами и

. (10.6)

б). Итерационные методы. Если функция задана в виде таблицы с равноотстоящими узлами, то для нее можно записать один из интерполяционных многочленов. Например, первый интерполяционный многочлен Ньютона:

. (10.7)

Рассматривая последнее выражение как уравнение относительно , находим по заданному значению , а затем вычисляем

.

Если число узлов велико, то получим алгебраическое уравнение высокой степени. При решении такого уравнения удобно применить метод итераций.

Для этого запишем уравнение (10.7) в виде

.

За начальное приближение принимаем , а затем применяем процесс итераций . При достаточно малом шаге процесс итераций сходится к искомому корню, т.е. .

Условием сходимости является выполнение неравенства .

На практике итерации продолжают до тех пор, пока два последовательных значения и не совпадут с заданной точностью, и полагают .

11. Интерполирование сплайнами.

Одним из способов интерполирования на всем отрезке является интерполирование с помощью сплайн-функций. Сплайн-функцией или просто сплайном называют кусочно-полиномиальную функцию, определенную на отрезке и имеющую на этом отрезке некоторое число непрерывных производных.

Рассмотрим частный, но распространенный в практике случай, когда сплайн определяется с помощью многочленов третьей степени (кубический сплайн).