Конечные и разделенные разности.

Пусть , где - целое, , .

Определение. Величина

(9.1)

называется конечной разностью первого порядка фун-ции в точке (с шагом ).

а (9.2)

называется конечной разностью второго порядка в точке .

Обобщая: конечная разность порядка функции f(x) в точке определяется по рекуррентной формуле

(9.3)

Составим следующую таблицу

Лемма 1. Если , то существует такая точка что (9.4)

Доказательство. При

,

согласно теореме Лагранжа о конечных приращениях.

При обозначим Тогда согласно (9.3)

, (9.5)

где .

Но, согласно нашему обозначению, .

(9.6)

(еще раз использовали формулу Лагранжа).

Из (9.5) и (9.6) имеем

.

Аналогично можно доказать лемму и для .

Следствие леммы 1. Конечная разность порядка алгебраического многочлена степени постоянна, т.е. не зависит от , а конечные разности более высоких порядков равны нулю.

Покажем это на примере функции .

Составим таблицу для при

				0.

Очевидна следующая формула для конечной разности порядка полинома степени

, где - коэффициент при .

Справедливо и обратное утверждение: если разности порядка , образованные для равноотстоящих значений аргумента постоянны, то функция представляет собой полином степени.