Интерполяционный многочлен Лагранжа.

Пусть имеется значение ф-ции в различных точках

Надо найти функцию, которая смогла бы дать значение в произвольной точке . Для этого часто используют алгебраический многочлен степени , который в точках принимает заданные значения, т.е. (6.15)

Такой многочлен называется интерполяционным. Точки называются узлами интерполяции.

Теорема существования. Существует единственный интерполяционный многочлен степени, удовлетворяющий условиям (6.15).

Доказательство. Существование подобного многочлена устанавливается

непосредственно путем его выписывания. Пусть . Тогда

. (6.16)

При

. (6.17)

В общем случае, при любом натуральном

. (6.18)

Непосредственной подстановкой в (6.16 - 6.18) убеждаемся, что .

Нетрудно увидеть, что многочлен в (6.18) имеет степень . Видно, что

, a .

Единственность интерполяционного многочлена (6.18) доказывается методом от противного. Пусть кроме имеется ещё некоторый алгебраический многочлен степени, удовлетворяющий условиям

, (6.19)

Тогда, согласно (6.15) и (6.19)

(6.20)

Если в точках разность (6.20) не равна нулю, то мы получим многочлен

степени не выше и в силу основной теоремы высшей алгебры он имеет не более корней. Но из (6.20) следует, что мы уже имеем корень. Чтобы избежать противоречия, мы должны согласиться, что .

Это и есть доказательство единственности интерполяционного многочлена.

Интерполяционный многочлен (6.18) называется интерполяционным многочленом Лагранжа, а функции - лагранжевыми коэффициентами.

Для вычисления удобно применять следующее расположение разностей, подчеркнув разности, расположенные на главной диагонали:

Обозначим произведение элементов строки через D_i, а произведение элементов главной диагонали через , т.е . Тогда

.

Иногда бывает полезным для упрощения вычислений использовать инвариантность коэффициентов Лагранжа относительно линейной подстановки: если

, то .

В случае равностоящих узлов имеются таблицы для лагранжевых коэффициентов и процесс вычисления значительно облегчается.