Многочлены Тейлора.

Определение. Будем говорить, что ф-я принадлежит классу , и писать , если ф-ция (х) определена на отрезке и имеет на нем непрерывные производные до порядка включительно.

При вместо используют обозначение .

Запись означает, что ф-ция f(x) непрерывна на отрезке

В окрестности точки достаточно хорошее приближение ф-ции можно представить в виде многочлена Тейлора.

Пусть задана функция

Многочленом Тейлора степени ф-ции f(x) в точке называется многочлен . (6.6)

Многочлен (6.6) обладает тем свойством, что в точке он сам и все его производные до порядка включительно совпадают с соответствующими производными функции , т.е.

в чем легко убедиться, дифференцируя .

Рис.6.3. К приближению многочленом Тейлора.

Многочлен Тейлора хорошо приближает ф-цию в окрестностях точки . Погрешность, возникающая при замене функции ее многочленом , выражается остаточным членом формулы Тейлора в форме Лагранжа

, (6.7)

где - точка, лежащая строго между и при .

Так как по условию , то она ограничена на этом отрезке, т.е.

(6.8)

На основании (6.7) имеем

(6.9)

или , (6.10)

где .

Определение. Пусть - некоторая функция переменной с конечной областью определения на полуоси , причем может принимать сколь угодно малые значения. Тогда, если существуют такие положительные , что при всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство

(6.11)

то пишут

(6.12)

и говорят, что есть O большое от (при ).

Согласно данному определению выполняются и следующие очевидные свойства. Если, и ,

причем области определения функций φ и ψ совпадают, т.е. D_φ = D_ψ , то

φ (h) + ψ (h), т.е. (6.13)

. (6.14)

Наконец, если, , то , где - постоянная, не зависящая от .

Определение. Аналогично, ф-ция , заданная для всех натуральных , есть O большое , если найдется такая постоянная , что при всех натуральных .

Возращаясь к остаточному члену ряда Тейлора, можем сказать, что погрешность приближения функции многочленом Тейлора есть , а неравенство (6.10) служит оценкой максимаьной погрешности на всем отрезке .

Из вышеприведенного очевидно, что погрешность аппроксимации многочленом Тейлора быстро убывает при и резко возрастает на концах . Причем особенно сильно - у наиболее удаленного от конца. Это есть основной недостаток использования ряда Тейлора при приближении функций.

Тем не менее, многочлены Тейлора широко используются на практике для приближения функций. Особенно это касается ф-ций, у которых легко находятся старшие производные, а остаточный член при . Прежде всего это функции , , , , , и другие.

Пример. Аппроксимировать функцию многочленом Тейлора на отрезке с абсолютной погрешностью, не превышающей .

Решение. Выбираем , т.е. в середине , с тем, чтобы минимизировать величину в составе оценки погрешности (6.10). Очевидно, что

, , , ,

.

Согласно (6.10) при и M_n+1 = e

Для r_n составим таблицу:

Видно, что .