Замечания.

1. Непосредственной проверкой можно убедиться, что .

Это тождество может служить контролем при вычислении лагранжевых коэффициентов .

2. Интерполяционный многочлен (6.18) линейно зависит от значений функции .

Поэтому интерполяционный многочлен для суммы двух функций равен сумме интерполяционных многочленов для слагаемых.

Пример. Построить интерполяционный многочлен Лагранжа по табличным данным:

Решение. Согласно (6.18) при имеем

.

Погрешность интерполяции.

Можно написать следующее равенство.

,

где - остаточный член или погрешность интерполяции.

Для оценки остаточного члена предположим, что

,

где - отрезок, содержащий все узлы интерполяции .

Будем искать в виде:

, (6.22)

где , (6.23)

r_n(x) - некоторая функция от .

Воспользуемся следующим приемом:

Введем в рассмотрение фун-цию .

(6.24)

оставив в составе функцию r_n(x) при некотором произвольном фиксированном но .

Ф-ция обращается в нуль при , , и (на основании формул (6.15), (6.21), (6.22), (6.23)).

Т.е. она принимает нулевые значения не менее чем в точках отрезка , на котором изменяется . По теореме Ролля первая производная по t обращается в нуль, по крайней мере в точке интервала , равна нулю минимум в точках этого интервала и т.д. Продолжая эти рассуждения и дойдя до производной можно сказать, что найдется хотя бы одна точка , в которой .

Перепишем теперь последнее уравнение, предварительно продифференцировав по его левую и правую части:

.

Так как , а в любой точке , как производная многочлена степени, то для точки можно написать равенство

,

где - производная - го порядка от .

Следовательно,

(6.25)

или , (6.26)

и , (6.27)

где - некоторая точка интервала , положение которой зависит от рассматриваемого значения

Из последнего равенства (6.27) можно оценить погрешность интерполяции в текущей точке :

. (6.28)

Здесь .

Оценка максимальной погрешности интерполяции на всем отрезке :

. (6.29)

Пример. Оценить погрешность приближения функции в точке и на всем отрезке , где , с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа второй степени , построенного с узлами .

Решение. Здесь . Следовательно, нам потребуются производные до 3- ^го порядка включительно.

.

.

На основании (6.28)

.

А в силу оценки (6.29):

Здесь опущено нахождение максимума .

6.4. Линейная интерполяция.

Перепишем многочлен Лагранжа для случая .

(6.30)

Интерполяция в виде такого многочлена называется линейной.

Рис.6.3. К вопросу о линейной интерполяции.

Введем обозначения . Тогда .

.

Итак: . (6.31).

Величина называется фазой интерполяции, которая изменяется в пределах от 0 до 1, когда пробегает значения от до .

Геометрически линейная интерполяция означает (рис. 6.3) замену графика функции на отрезке хордой, соединяющей точки .