Равномерное приближение.

Иногда ставится очень жесткое условие: во всех точках некоторого отрезка отклонение многочлена по абсолютной величине должно быть меньше заданной величины :

, .

При выполнении такого условия говорят, что многочлен равномерно аппроксимирует функцию с точностью на отрезке .

.

Определение. Абсолютным отклонением многочлена от функции на отрезке называется максимальное значение модуля разности между ними на данном отрезке:

(рис. 6.2а.) (6.5)

По аналогии вводится понятие среднеквадратичного отклонения при среднеквадратичном приближении функции

Рис. 6.2. К вопросу о приближениях: а – равномерное приближение, б – среднеквадратичное приближение.

Возможность построения многочлена, равномерно приближающего данную функцию, следует из теоремы Вейерштрасса об аппроксимации:

“Если функция непрерывна на отрезке , то для любого существует многочлен степени , абсолютное отклонение которого от функции на отрезке меньше ”.

В частности, если на отрезке разлагается в равномерно сходящийся степенной ряд, то в качестве аппроксимирующего многочлена можно взять частичную сумму этого ряда. (Такой подход широко используется, например, при вычислении на ЭВМ значений элементарных функций).

Имеется также понятие наилучшего приближения функции f(x) многочленом φ (x) фиксированной степени . В этом случае коэффициенты многочлена следует выбрать так, чтобы на заданном отрезке величина абсолютного отклонения (6.5) была минимальной.

В этом случае многочлен называется многочленом наилучшего равномерного приближения.

Существование и единственность многочлена наилучшего равномерного приближения вытекает из следующей теоремы:

Теорема. Для любой функции , непрерывной на замкнутом ограниченном множестве , и любого натурального существует многочлен степени не выше , абсолютное отклонение которого от функции минимально, т.е. , причем такой многочлен единственный. Множество обычно представляет собой либо некоторый отрезок , либо конечную совокупность точек .

(Примером подобного разложения можно привести разложение элементарной функции в тригонометрический ряд. Мы знаем из соответствующего курса математического анализа, что наилучшим приближением функции в виде тригонометрического ряда

является ряд, где коэффициентами и являются коэффициенты Фурье).