Значений функции

Пусть требуется вычислить значение непрерывной функции

. (5.20¢)

Запишем функцию (5.20¢) в неявном виде

или , где (5.21)

Предположим, что непрерывна и имеет непрерывную частную производную . Пусть y_n – приближенное значение у. Применяя теорему Лагранжа, будем иметь:

,

где - некоторое промежуточное значение между у_п и у. Отсюда

. Т.к. , то

(5.22)

Значение нам неизвестно. Полагая , для вычисления значения получим итерационный процесс

. (5.23)

Формула (5.23) имеет простой геометрический смысл. Зафиксируем значение х и рассмотрим график функции (5.24)

Рис.5. 2. Графическое представление метода итераций.

Из формулы (5.23) вытекает, что наш процесс представляет собой метод Ньютона, примененный к функции (5.24), т.е. последовательные приближения у_{п +1} получаются как абсциссы точки пересечения с осью ОУ касательной к кривой (5.24), проведенной при (см. рис.2). Сходимость процесса обеспечивается, если и сохраняют постоянные знаки в рассматриваемом интервале, содержащем корень у.

Начальное значение у ₀ произвольно и выбирается по возможности близким к искомому значению у. Процесс итерации продолжается до тех пор, пока в пределах заданной точности e два последовательных значения у_п и у_{п -1} не совпадут между собой: . При этом, строго говоря, не гарантируется, что

,

поэтому в каждом конкретном случае требуется дополнительное исследование.