Приближенное нахождение сумм числовых рядов.

Пусть надо найти с заданной предельной абсолютной погрешностью e сумму S сходящегося ряда

Из сходимости ряда имеем

,

где S_n - n -я частичная сумма, R_n – остаток ряда, причем R_n ® 0 при n ® ¥.

Очевидно, что в поставленной задаче должно быть выполнено условие

.

В этом случае можно утверждать, что

На практике слагаемые а ₁, а ₂, ¼, а_п определяются также приближенно. Кроме того, сумма S_n обычно округляется до заданного числа десятичных знаков.

Для учета всех этих погрешностей поступают так: выбирают три приближенных числа e ₁, e ₂ и e ₃ такие, что

.

Число п членов ряда берут столь большим, чтобы остаточная погрешность удовлетворяла неравенству

.

Далее, каждое из слагаемых вычисляют с предельной абсолютной погрешностью . Тогда для суммы S_n справедливо неравенство

.

Наконец, полученный приближенный результат округляют до более простого числа с таким расчетом, чтобы погрешность округления была

.

В таком случае число является приближенным значением суммы S ряда с заданной погрешностью e. Действительно, из приведенных выше неравенств имеем:

.

Чаще всего принимают

.

Если заключительное округление отсутствует, то обычно полагают

.

Для оценки остатка ряда полезны следующие теоремы.

Теорема 1. Если члены ряда представляют собой соответствующие значения положительной монотонно убывающей функции f (x), т.е. , то

Теорема 2. Если ряд - знакочередующийся, т.е.

и модули его членов монотонно убывают, то

и

Пример. Найти сумму ряда

с точностью до 0, 001.

Вспоминая, что

,

примем остаточную погрешность

.

Члены данного ряда представляют собой соответствующие значения монотонной функции.

.

Поэтому ;

; ; .

Примем п = 45. Принимая предельную погрешность суммирования, равной ,

находим предельную абсолютную погрешность слагаемых а_k:

,

т.е. члены ряда а_k будем вычислять с пятью верными, в узком смысле, десятичными знаками после запятой. Опуская промежуточные вычисления, запишем, что в результате суммирования 45 членов, имеем

.

Округляя это значение до тысячных, имеем

.

Т.к. , то суммарная погрешность e

.

Т.о. .

Для сравнения: (с точностью до ).