Вычисление квадратного корня

В качестве одного из многочисленных примеров рассмотрим нахождение точного значения квадратного корня.

Пусть .

Положим .

Тогда .

Применяя формулу (5.23),

,

имеем

,

или

, , (5.25)

(процесс Герона).

Рис.5.3. К вычислению квадратного корня.

Последовательные приближения получаются по методу Ньютона, примененному к параболе . Если за у ₀ принять табличное значение, дающее с относительной погрешностью , то у ₁, определенное по формуле (5.25), дает новое значение приблизительно с относительной погрешностью .

Действительно, полагая

и пренебрегая степенями d, выше третьей, будем иметь:

.

Отсюда получаем вывод: при применении процесса Герона число верных цифр примерно удваивается на каждом этапе по сравнению с первоначальным количеством.

Пример 1. Для приближенно имеем:

.

Уточняя это значение, получаем

.

Еще раз повторяя процесс, будем иметь:

, причем восемь или семь десятичных знаков являются верными. Действительно,