Вычисление значений логарифмической функции

Для натуральных логарифмов чисел, близких к единице, справедливо разложение

. (5.14)

Формула (5.14) малопригодна для вычислений, так как диапазон чисел 0 < 1 + x £ 2 не велик и, кроме того, при , близком к единице, ряд (5.14) сходится медленно.

Существует более удобная формула для вычисления натуральных логарифмов. Выведем ее.

Заменяя х в формуле (5.14) на – х, будем иметь

(5.15)

Вычтем почленно (5.15) из (5.14)

или .

Сделаем замену

, или .

Тогда

(5.16)

при 0 < z < +¥.

Пусть х – положительное число. Представим его в виде

,

где m – целое число и . Тогда, полагая

, где , и применяя формулу (5.16), имеем

(5.16¢)

где

При имеем и поэтому

(5.17)

или, более грубо,

.

Число членов п находится из соображений, приводимых раньше при вычислении суммы рядов.

Пример. Найти ln 3 с точностью до 10^-5.

Решение. Вычисления будем производить с двумя запасными знаками. Положим .

Отсюда z = 0, 75 и

Имеем

Используя формулу (5.16¢) и учитывая, что ln 2 = 0, 69314718 ¼, получаем

ln 3 = 2 × 0, 69314718 - 2 × 0, 1438410 = 1, 09861.

Замечание 1. Можно также вычислять натуральные логарифмы чисел, исходя из представления

,

где Р – целое число и .

Замечание 2. Для вычисления десятичных логарифмов используется формула

,

где