Правила записи приближенных чисел.

Пусть приближенное число a ^* задано в виде конечной позиционной записи:

,

где a_j – десятичные цифры .

Первая слева, отличная от нуля цифра данного числа, и все расположенные справа цифры называются значащими. Например, числа 537, 243 и 0, 3470 имеют соответственно 6 и 4 значащие цифры.

Цифра a_j называется верной в широком смысле, если , т.е. абсолютная погрешность числа a ^* не превосходит одной единицы соответствующего разряда десятичного числа.

Цифра a_j называется верной в узком смысле, если , т.е. абсолютная погрешность числа a ^* не превосходит половины одной единицы соответствующего разряда десятичного числа.

В известных таблицах Брадиса значения синуса даны с абсолютной погрешностью £ 0, 5 × 10^-4, т.е. с четырьмя верными значащими цифрами в узком смысле.

В последнее время стали использоваться таблицы (таблицы различных физических величин, экспериментально составленные таблицы), в которых абсолютные погрешности не превосходят единицы последнего разряда, т.е. используются только верные значащие цифры в широком смысле.

Пример. Для точного числа a = 17, 976 число a ^* = 17, 97 является приближенным с четырьмя верными цифрами в широком смысле, т.к. , но 0, 006> 0, 5·0, 01. Или a ^* = 17, 98 является приближенным с четырьмя верными цифрами в узком смысле, т.к. .

При записи приближенного числа выписываются только его верные знаки (цифры). При этом на правом конце выписываются и верные нули. Например, числа 0, 045 и 0, 0450, как приближенные, различны. Первое число – с абсолютной ошибкой £ 10^-3, второе – с абсолютной ошибкой £ 10^-4 (если говорить о верных цифрах в широком смысле).

При записи приближенных чисел могут встретиться случаи, когда значащих цифр больше, чем имеется верных знаков.

Рассмотрим число a ^* = 560000. Известно, что у него верными являются четыре цифры. Но нули мы здесь отбросить не можем, так как изменится число. В этом случае число записывают в нормализованном виде, т.е.

a ^* = 560000 = 0, 5600 × 10⁶.

В дальнейшем подобные записи (такие как а ^* = 560000 при числе верных знаков, меньших шести) не допустимы, если число верных знаков меньше значащих. Надо переходить к записи в нормализованном виде.

Часто употребляют запись вида

, (2.11),

означающую, что неизвестная величина а удовлетворяет неравенствам

. (2.12).

При этом величина выписывается с одной или двумя значащими цифрами, а младший разряд в а ^* соответствует младшему разряду в .

Например, верна запись

a = 2, 730 ± 0, 017. (2.13).

Следующие записи не верны

Можно говорить о числе верных значащих цифр у приближенного числа и о числе верных цифр после запятой. Как правило, при реальных вычислениях у приближенных чисел содержатся цифры после запятой, т.е. имеется дробная часть.

Например, приближенное число а ^* = 33, 277 имеет пять верных значащих цифр и 3 верные цифры после запятой, а у числа b ^* = 0, 00305 – три верные значащие цифры и 5 верных цифр после запятой.

Очевидно следующее утверждение: «Абсолютная погрешность приближенного числа вполне характеризуется числом верных цифр после запятой, а относительная погрешность – числом верных значащих цифр».