Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Учет погрешностей в арифметических операциях.
|
|
Принимается за очевидное, что если с = а + b и с * = а * + b * или с * = а * - b * из с = а – b, то
(2.4)
и, следовательно, в качестве предельной абсолютной погрешности естественно взять
(2.5).
Таким образом, при сложении и вычитании двух приближенных чисел их предельные абсолютные погрешности складываются.
Рассмотрим пример.
Пусть а * = 100 ± 5; b * = 50 ± 5;
;
.
Здесь брались граничные случаи. Понятно, что если будем брать значения а * или b * внутри интервалов 100 ± 5 и 50 ± 5 соответственно, сумма или разность будут попадать в пределы максимального интервала D с *.
Подобные рассуждения можно проводить и для произведения двух приближенных чисел а * × b *, их частного 
и, в общем случае, для любой дифференцируемой функции от этих приближенных чисел. Получающиеся при этом формулы очень напоминают уже известные нам формулы математического анализа. Вспомним формулу для полного дифференциала функции z двух переменных x и y
. (2.6).
В действиях с приближенными числами пользуются такой же формулой, только частные производные берут по модулю.
Выведем формулу (2.5), воспользовавшись формулой, аналогичной (2.6).
Пусть х = а *; у = b * и c * = a * ± b *. Тогда
Аналогично выведем формулы для погрешностей произведения и частного приближенных чисел а * и b *, используя формулу 2.6. Пусть u * = (a * × b *). Тогда
(2.7).
Пусть теперь 
.
Тогда
и 
(2.8).
Итак:
т.е. при сложении и вычитании приближенных чисел складывают предельные абсолютные погрешности, а при умножении и делении приближенных чисел складывают их предельные относительные погрешности.
По аналогии с приведенными примерами могут быть вычислены погрешности приближенных величин, являющихся функциями произвольного количества приближенных чисел. При этом пользуются формулой
(2.9),
где 
.
Обратная задача. Часто приходится решать такую задачу: с какой точностью надо задать значения аргументов 
функции z = z (a 1, ¼, an), чтобы погрешность D z (), не превосходила заданную величину e?
Пусть точки (a 1, ¼, an) и (), соответствующие истинным и приближенным значениям параметров aj (j = 1, 2, ¼, n), принадлежат некоторой выпуклой области G и 
. Тогда
(см. 2.9)
Определение. Область G элементов а 1, а 2, ¼, ап называется выпуклой, если прямая, соединяющая любые две точки этой области, нигде не пересекает границ этой области.
- максимальное значение модуля частной производной по аргументу a j в области определения G функции z (a 1, a 2, ¼, an). Очевидно, что любая совокупность 
абсолютных погрешностей, удовлетворяющих неравенству
(2.10)
будет обеспечивать требуемую точность.
Если функция z зависит только от одного аргумента (п = 1), то имеем неравенство 
и для достижения требуемой точности достаточно взять 
.
В случае п > 1 иногда рекомендуют отвести для погрешности каждого аргумента равную долю, то есть выбрать 
из условия 
, т.е. 
. В других случаях предлагают взять погрешности равными и максимально возможными, т.е. положить
, где 
.
Но это возможно в простейших случаях. Более сложные случаи мы пока рассматривать не будем.