Отделение корней.

В некоторых случаях при решении уравнений не удается аналитическим

путем найти точные решения.

Пусть дано уравнение , (14.1)

где определена и непрерывна на .

Определение. Всякое значение , обращающее функцию в нуль, т.е. такое, что , называется корнем уравнения (14.1) или нулем функции .

Приближенное нахождение изолированных действительных корней уравнения (14.1) обычно складывается из двух этапов:

1) отделение корней, т.е. установление малых промежутков , в которых содержится только один корень уравнения ;

2) уточнение приближенных корней, т.е. доведение их до заданной степени точности.

Для отделения корней полезна теорема:

Теорема. Если непрерывная функция принимает значения разных знаков на концах отрезка т.е. , то внутри этого отрезка содержится по меньшей мере один корень уравнения , т.е. найдется хотя бы одно число такое, что .

Последнее очевидно, если производная существует и сохраняет постоянный знак внутри интервала , т.е. если

.

Отделение корней начинается с установления знаков функции в граничных точках области ее существования.

Затем определяются знаки функции в ряде промежуточных точек

, выбор которых учитывает поведение функции на отрезке .

Если после нескольких операций нахождения окажется, что

то в силу теоремы 1 в интервале имеется корень уравнения .

Для отделения корней бывает достаточно провести процесс половинного деления, т.е. когда исследуемый интервал последовательно делится на 2, 4, … равных частей.

При этом каждый раз определяются знаки на концах интервалов.

Полезно помнить, что алгебраическое уравнение степени

имеет не более действительных корней. Поэтому, если для такого уравнения мы получили перемену знаков раз, то все корни его отделены.

Пример. Отделить корни уравнения . (14.2)

Решение. Составим таблицу

	-	-3	-1				+
	-	-	+	+	-	+	+

Из таблицы видно, что уравнение (14.2) имеет 3 действительных корня в интервалах (-3, -1), (0, 1), (1, 3).

Если существует непрерывная производная и корни уравнения легко находятся, то достаточно сравнить знаки функции в точках нулей производной и на концах отрезка .

Пример. Отделить корни уравнения (14.3).

Решение. Здесь , .

Имеем

	-		+
	+	-	+

Всего две смены знака (т.к. только одна точка экстремума).

В других точках не исследуем, поскольку в интервалах (- , 1) и (1, + ) не меняет знака - больше нет точек экстремума.

Видно, что в интервале (- , 1) функция только убывает, в интервале (1, + )- только возрастает. Другие два оставшихся корня - комплексные.

Пример. Определить число действительных корней уравнения

. (14.4).

Решение. и . Видим, что функция только возрастающая, но имеется смена знака . Поэтому имеем всего один корень.