Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Метод Гаусса. Этот метод является наиболее распространенным
|
|
Этот метод является наиболее распространенным. Он называется также методом последовательного исключения неизвестных. Рассмотрим для простоты систему линейных алгебраических уравнений четвертого порядка
(16.7)
Предположим, что a 11 ¹ 0 (ведущий элемент). Разделив первое уравнение системы на a 11, получим
, (16.8)
где 
.
Пользуясь уравнением (16.8), исключим из системы неизвестную x 1. Из второго уравнения x 1 исключается следующим образом. Умножим уравнение (16.8) на коэффициент a 21:
(16.9)
Последнее уравнение вычтем из второго уравнения системы:
или 
,
где 
.
Проделав эти же операции с третьей и четвертой строками исходной системы, мы получим новую систему трех уравнений с тремя неизвестными:
(16.10)
где 
.
Допустим теперь, что ведущий элемент второй строки, т.е. коэффициент 
тоже отличен от нуля. Тогда, разделив на него первое из уравнений (16.10), получим уравнение
, (16.11),
где 
.
Исключив с помощью уравнения (16.11) неизвестную x 2 из двух последних уравнений в (16.10), приходим к следующей системе из двух уравнений с двумя неизвестными
(16.12),
где 
.
Теперь, если ведущий элемент и третьей строки 
не равен нулю, то, поделив на него первое из уравнений (16.12) и вычтя полученное уравнение, умноженное на 
, из второго уравнения, получим
до вычитания
, (16.13),
после вычитания
, (16.14),
где 
.
И, наконец, если ¹ 0, то, разделив на него (16.14), приведем к виду
, (16.15),
где 
.
Итак, если ведущие элементы 
не равны нулю, то исходная система эквивалентна следующей системе с треугольной матрицей:
(16.16)
Из системы (16.16) неизвестные x 1, x 2, x 3, x 4 находятся в обратном порядке по формулам
(16.17)
Процесс 
приведения исходной системы к треугольному виду называется прямым ходом, а нахождение неизвестных по формулам (16.17) – обратным ходом метода Гаусса.
Поясним ход решения уравнения на примере заполнения таблицы 16.1. Прямой ход начинается с выписывания коэффициентов системы, включая свободные члены (раздел А). Последняя строка раздела представляет собой результат деления первой строки раздела на «ведущий элемент» a 11. Элементы 
следующего раздела схемы (А 1) равны соответствующим элементам 
предшествующего раздела без произведения их «проекций» на первый столбец и последнюю строку раздела А.
Последняя строка раздела А 1 находится путем деления первой строки раздела на «ведущий элемент» первой же строки. Аналогично строятся следующие разделы. Прямой ход заканчивается, когда мы дойдем до раздела, состоящего из одной строки, не считая преобразованной (в нашем случае А 3).
При обратном ходе используются лишь строки разделов, содержащие единицы (отмеченные строки).
Для контроля вычислений используются так называемые «контрольные суммы»
, (16.18)
помещенные в столбце S и представляющие сумму элементов строк матрицы исходной системы (16.7), включая свободные члены.
Если 
принять за новые свободные члены в системе (16.7), то преобразованная линейная система
или 
будет иметь неизвестные 
, связанные с прежними неизвестными xj соотношениями
.
Поэтому, если над контрольными суммами в каждой строке производить те же операции, что и над остальными элементами этой строки, то при отсутствии ошибок в вычислениях элементы столбца S равны суммам элементов соответствующих преобразованных строк. Этот момент служит контролем прямого хода.
Обратный ход контролируется нахождением чисел , которые должны совпадать с числами xj + 1.
Таблица 16.1
Схема единственного деления
| х1 | x 2 | x 3 | x 4 | Свободные члены | S | Разделы схемы |
| a 11 a 21 a 31 a 41 | a 12
a 22
a 32
a 42
| a 13
a 23
a 33
a 43
| a 14
a 24
a 34
a 44
| a 15
a 25
a 35
a 45
| a 16
a 16
a 16
a 16
| A |
| 
| 
| 
| 
| A 1 | |
| 
| 
| 
| A 2 | ||
| 
(x 4)
| 
| A 3 | |||
| x 4 x 3 x 2 x 1 | 
| B |
Пример. Решить систему
(16.19)
Решение. В раздел А таблицы 16.2 впишем матрицу коэффициентов системы, ее свободные члены и контрольные суммы. Далее заполняем последнюю (пятую) строку раздела А, деля первую строку на 7, 9 (на a 11).
Переходим к заполнению раздела А 1 таблицы. Взяв любой элемент раздела А (не находящийся в первой строке), вычитаем из него произведение первого элемента его строки на последний элемент столбца, к которому он принадлежит (т.е. на элемент, принадлежащий в этом столбце отмеченной (выделенной) строке), и записываем в соответствующем месте раздела А 1 схемы. Например, выбрав a 43 =- 8, 9, найдем 
:
.
Чтобы получить последнюю строку раздела А 1, делим все члены первой строки этого раздела на 
. Например, 
.
Аналогично заполняются остальные разделы таблицы. Например,
.
Для нахождения неизвестных используем строки, содержащие единицы, начиная с последней (отмеченные строки). Неизвестное x 4 представляет собой свободный член последней строки раздела А 3:
.
Значения остальных неизвестных x 3, x 2, x 1 получаются последовательно в результате вычитания из свободных членов отмеченных строк суммы произведений соответствующих коэффициентов 
на ранее найденные значения неизвестных.
Имеем: 
Итак, x 1 = 0, 96710; x 2 = 0, 12480; x 3 = 0, 42630; x 4 = 0, 56790.
Текущий контроль вычислений осуществляется с помощью столбца S, над которым производятся те же действия, что и над остальными столбцами.
Таблица 16.2
Решение системы по схеме единственного деления
| x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | Свободные члены | S | Разделы схемы | |
| 7, 9 8, 5 4, 3 3, 2 | 5, 6 -4, 8 4, 2 -1, 4 | 5, 7 0, 8 -3, 2 -8, 9 | -7, 2 3, 5 9, 3 -3, 3 | 6, 68 9, 95 8, 6 | 18, 68 17, 95 23, 2 -2, 8 | А | |
| 0, 70886 | 0, 72152 | -0, 91139 | 0, 84557 | 2, 36456 | |||
| -10, 82531 1, 15190 -3, 66835 | -5, 33292 -6, 30254 -11, 20886 | 11, 24682 13, 21898 6, 21645 | 2, 76265 4, 96405 -1, 70582 | -2, 14876 13, 03239 -10, 36658 | А 1 | ||
| 0, 49263 | -1, 03894 | -0, 25520 | 0, 19849 | ||||
| -6, 8700 -9, 40172 | 14, 41573 2, 40525 | 5, 25801 -2, 64198 | 12, 80374 -9, 63845 | A 2 | |||
| -2, 09836 | -0, 76536 | -1, 86372 | |||||
| -17, 32294 | -9, 83768 | -27, 16062 | A 3 | ||||
| 0, 56790 | 1, 56790 | ||||||
| 0, 56790 0, 42630 0, 12480 0, 96710 | 1, 56790 1, 42630 1, 12480 1, 96710 | B |