Оценка погрешности приближения

Продолжая вычисления, производимые при доказательстве первой теоремы, можно прийти к следующему соотношению:

. (14.12)

Отсюда ясно, что сходимость процесса итерации будет тем быстрее, чем меньше число q (т.е. чем меньший наклон имеет график функции к оси Ox, или, что то же самое – чем больше угол между графиками y ₁ = x и ). Формула (14.12) может быть приведена к виду

или

. (14.13)

Отсюда понятно, что для нахождения приближенного значения корня с погрешностью, не превышающей e, достаточно определить n так, чтобы выполнялось неравенство .

В частности, если , то

(14.14),

т.е. в этом случае из неравенства < e вытекает неравенство < e.

Замечание. В методе итерации уравнение f (x) = 0 записывается в виде равенства x = j (x).

При этом функцию j (x) можно выбирать различным образом. Из вышеизложенного понятно, что выгоден такой выбор, при котором выполняется неравенство

.

Причем, чем меньше q, тем быстрее x_n приближается к значению x = x.

Проиллюстрируем на примерах, какие ситуации могут встретиться на практике.

Пример. Найти положительный корень в уравнении

. (14.15)

Решение. Грубой прикидкой оцениваем приближенное значение корня x₀ = 10. Очевидно, что x < 10. Уравнение (14.15) можно записать в виде

(14.15)¢

или

, (14.15)¢ ¢

или

. (14.15)¢ ¢ ¢

В первом случае .

Во втором случае .

В третьем случае .

Пример. Подобрать оптимальный вид функции j (x) для нахождения корня уравнения

. (14.16).

Это уравнение имеет корень x Î (1, 2), так как f (1) = - 1 < 0 и f (2) = 5 > 0.

Уравнение (14.16) можно записать в виде

;

; .

При 1 £ x £ 2 ,

и поэтому условия итерации не выполняются.

Но уравнение (14.16) можно записать в другом виде:

и , (14.17)

.

Отсюда .

Значит, процесс итерации для уравнения (14.17) является сходящимся.

В более сложных случаях, когда x выразить из f (x) = 0 не удается, поступают следующим образом: уравнение f (x) заменяют другим, ему равносильным:

(14.18),

где (14.19).

Рассмотрим, как можно подобрать нужный коэффициент l.

Итак, мы имеем

.

Кроме того, можно написать

. (14.20)

Параметр l на отрезке [ a, b ] надо выбрать таким образом, чтобы было выполнено условие

. (14.21)

Отсюда на основании (14.20) получаем:

.

Поэтому можно выбрать

и .

Из последнего соотношения видно, что когда производная f (x) меняется не сильно, то есть m ₁» M ₂, то q близко к нулю, и мы имеем быструю сходимость x_n к x.

На практике достаточно взять для и будет иметь место сходимость итерации.

Очень часто берут .