Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Запишем это разложение в виде
. (17.5) Заменим значения функции Y(x) в узлах значениями сеточной функции . Кроме того, используя решаемое уравнение , полагаем . Для простоты будем считать узлы равноотстоящими, т.е. Учитывая введенные обозначения и пренебрегая членами порядка , из равенства (17.5) получаем: (17.6) Полагая =0, с помощью соотношения (17.6) находим значение сеточной функции , при : . Значение у0 задано начальным условием задачи Коши У(х0)=У0. Аналогично могут быть найдены значения сеточной функции в других узлах: , --------------------------- . Геометрическая интерпретация метода Эйлера дана на рисунке, где изображено поле интегральных кривых. Использование только первого члена формулы Тейлора означает движение не по интегральной кривой, а по касательной к ней.
На рисунке изображены первые два шага, т.е. показано вычисление сеточной функции в точке . Интегральные кривые 0, 1, 2 описывают точные решения уравнения . При этом кривая соответствует точному решению задачи Коши, так как она проходит через начальную точку . Точки получены в результате численного решения задачи Коши методом Эйлера. Их отклонения от кривой характеризуют погрешность метода. При выполнении каждого шага мы фактически попадаем на другую интегральную кривую. Отрезок - отрезок касательной к кривой в точке , ее наклон характеризуется значением производной ' . Касательная проводится уже к другой интегральной кривой 1. Видим, что на каждом шаге погрешность увеличивается. Эта погрешность имеет порядок , так как члены именно такого порядка отброшены из разложения в ряд Тейлора. При нахождении решения в точке , отстоящей на расстоянии L от точки , погрешность суммируется и равна . Вспоминая, что , для суммарной погрешности получаем выражение . (17.7) Таким образом, метод Эйлера имеет первый порядок точности.
|