Запишем это разложение в виде

. (17.5)

Заменим значения функции Y(x) в узлах значениями сеточной функции .

Кроме того, используя решаемое уравнение

, полагаем

.

Для простоты будем считать узлы равноотстоящими,

т.е. Учитывая введенные обозначения и пренебрегая членами порядка , из равенства (17.5) получаем:

(17.6)

Полагая =0, с помощью соотношения (17.6) находим значение сеточной функции , при : .

Значение у₀ задано начальным условием задачи Коши

У(х₀)=У₀.

Аналогично могут быть найдены значения сеточной функции в других узлах:

,

---------------------------

.

Геометрическая интерпретация метода Эйлера дана на рисунке, где изображено

поле интегральных кривых. Использование только первого члена формулы Тейлора означает движение не по интегральной кривой, а по касательной к ней.

На рисунке изображены первые два шага, т.е. показано вычисление сеточной функции в точке . Интегральные кривые 0, 1, 2 описывают точные решения уравнения . При этом кривая соответствует точному решению задачи Коши, так как она проходит через начальную точку . Точки получены в результате численного решения задачи Коши методом Эйлера. Их отклонения от кривой характеризуют погрешность метода. При выполнении каждого шага мы фактически попадаем на другую интегральную кривую.

Отрезок - отрезок касательной к кривой в точке , ее наклон характеризуется значением производной ' . Касательная проводится уже к другой интегральной кривой 1. Видим, что на каждом шаге погрешность увеличивается. Эта погрешность имеет порядок , так как члены именно такого порядка отброшены из разложения в ряд Тейлора.

При нахождении решения в точке , отстоящей на расстоянии L от точки , погрешность суммируется и равна . Вспоминая, что , для суммарной погрешности получаем выражение

. (17.7)

Таким образом, метод Эйлера имеет первый порядок точности.