Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Метод Адамса.
|
|
Пусть требуется решить уравнение 
' 
.
Одним из разностных методов приближенного решения этой задачи является метод Адамса.
Задавшись шагом 
изменения аргумента, исходя из начальных условий 
, находят следующие три значения искомой функции 
:
.
(Эти три значения можно получить любым методом, обеспечивающим нужную точность: методом Рунге-Кутта, с помощью разложения решения в степенной ряд и т.д., но не методом Эйлера ввиду его недостаточной точности).
С помощью чисел 
вычисляют величины
q0 
' 
q1 
' 
q2 
' 
q3 
' 
Далее составляют таблицу конечных разностей величин y и q.
|
| Δ
| q | Δ q | Δ 2q | Δ 3q |
| 
| q0 | ||||
| Δ
| Δ q0 | |||||
| 
| q1 | Δ 2q0 | |||
| Δ
| Δ q1 | Δ 3q0 | ||||
| 
| q2 | Δ 2q1 | |||
| Δ у2 | Δ q2 | |||||
| 
| q3 |
По формуле Адамса (Ньютона?) находим Δ
Δ =q3+ 
Δ q2 + 
Δ 2q1+ 
Δ 3q0,
зная числа q3, Δ q2, Δ 2q1, Δ 3q0 в нижней косой стороне таблицы
После этого можно найти 
= +Δ .
Зная теперь , вычисляют, q4 
после чего может быть написана следующая косая строка: Δ q3 = q4 - q3, Δ 2q2 = Δ q3 - Δ q2, Δ 3q1 = Δ 2q2 - Δ 2q1.
Новая косая строка позволяет нам вычислить по формуле Адамса значение Δ
Δ = q4+ Δ q3 + Δ 2q2 + Δ 3q1,
а следовательно, и 
Δ и т.д.
Пример: Используя метод Адамса, найти значение 
с точностью до 0, 01 для
дифференциального уравнения '= 
.
Решение: Найдем первые четыре члена разложения решения данного уравнения в ряд Тейлора в окрестности точки 
' 
'' 
''' 
Согласно условию значения ' 
'' ''' 
находим, последовательно дифференцируя данное уравнение:
,
'' 
''' 
'2+2 
Таким образом, 
Вычисляем в точках 
с одним запасным (третьим) знаком: 1= (0, 1)=1+0, 10, 01+ 
0, 001=0, 9087≈ 0, 909; 2= (0, 2)=1+0, 20, 04+ 0, 008=0, 2111, 040=0, 829;
3=1+0, 3=0, 09+ 0, 027=1, 09+0, 3360=0, 7540.
Составим таблицу:
|
| Δ
| q | Δ q | Δ 2q | Δ 3q |
| 1 | 0, 1 | |||||
| 0, 091 | 0, 017 | |||||
| 0, 1 | 0, 909 | 0, 083 | 0, 006 | |||
| 0, 080 | 0, 011 | 0, 002 | ||||
| 0, 2 | 0, 829 | 0, 072 | 0, 004 | |||
| 0, 075 | 0, 007 | |||||
| 0, 3 | 0, 754 | 0, 065 | ||||
Здесь q0=0, 1 
=0, 1(0+1)=0, 1,
q1=0, 1(
)=0, 1(0, 01+0, 9092)=0, 1(0, 01+0, 826) 
0, 083,
q2=0, 1(
)=0, 1(0, 04+0, 8292)=0, 1(0, 04+0, 68) 0, 072,
q3=0, 1(
)=0, 1(0, 09+0, 7542)=0, 1(0, 09+0, 568) 0, 065.
Теперь можно вычислить Δ =q3+ Δ q2+ Δ 2q1+ Δ 3q0=0, 065+ (0, 007)+ ·0, 004+ ·(0, 002)=0, 062.
Следовательно, = +Δ ≈ 0, 754+0, 062=0, 692≈ 0, 69.
(*) Оценка погрешности по А.С. Бахвалов и др. Численные методы, м. 1987г.