![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Некоторые обобщенные требования к выбору численных методов
Рассмотренные выше вопросы о погрешностях являются одними из важнейших моментов при выборе численного метода. В основе выбора численного метода лежат следующие соображения. 1) Можно утверждать, что нет ни одного метода, пригодного для решения всех задач одного и того же класса. Поэтому всегда стоит задача выбора численного метода (ЧМ), сообразуясь из конкретной технической задачи. 2) Численный метод можно считать удачно выбранным: – если его погрешность в несколько раз меньше неустранимой погрешности, а погрешность округлений в несколько раз меньше погрешности метода; – если неустранимая погрешность отсутствует, то погрешность метода должна быть несколько меньше заданной точности; – завышенное снижение погрешности численного метода приводит не к повышению точности результатов, а к необоснованному увеличению объема вычислений. 3) Предпочтение отдается методу, который: – реализуется с помощью меньшего числа действий; – требует меньшего объема памяти ЭВМ; – логически является более простым. Перечисленные условия обычно противоречат друг другу, поэтому часто при выборе численного метода приходится соблюдать компромисс между ними. 4) Численный метод должен обладать устойчивостью и сходимостью. 5) По возможности нужно прибегать к существующему программному обеспечению ЭВМ для решения типовых задач. 6) Нужно помнить всегда, что ЭВМ многократно увеличивает некомпетентность Исполнителя технической задачи. Раздел 2. Решение систем линейных алгебраических уравнений
Основные понятия и определения
Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) являются важной математической моделью линейной алгебры. На их базе ставятся такие практические математические задачи, как: – непосредственное решение линейных систем; – вычисление определителей матриц; – вычисление элементов обратных матриц; – определение собственных значений и собственных векторов матриц. Решение линейных систем является одной из самых распространенных задач вычислительной математики. К их решению сводятся многочисленные практические задачи нелинейного характера, решения дифференциальных уравнений и др. Вторая и третья задачи являются также и компонентами технологии решения самих линейных систем. Обычно СЛАУ n -го порядка записывается в виде или в развернутой форме
или в векторной форме
где
В соотношениях (2): А называется основной матрицей системы с n 2 элементами;
Определителем (детерминантом – det) матрицы А n -го порядка называется число D (det A), равное
Здесь индексы a, b,..., w пробегают все возможные n! перестановок номеров 1, 2,..., n; k – число инверсий в данной перестановке. Первоначальным при решении СЛАУ (1) является анализ вида исходной матрицы А и вектора-столбца свободных членов Если все свободные члены равны нулю, т.е. Квадратная матрица А называется невырожденной, или неособенной, если ее определитель | A | ¹ 0. При этом система (1) имеет единственное решение. При | A | = 0 матрица А называется вырожденной, или особенной, а система (1) не имеет решения, либо имеет бесконечное множество решений. Если | A |» 0 система (1) называется плохо обусловленной, т.е. решение очень чувствительно к изменению коэффициентов системы. В ряде случаев получаются системы уравнений с матрицами специальных видов: диагональные, трехдиагональные (частный случай ленточных), симметричные (аij = aji), единичные (частный случай диагональной), треугольные и др. Решение системы (2) заключается в отыскании вектора-столбца Существуют две величины, характеризующие степень отклонения полученного решения от точного, которые появляются в связи с округлением и ограниченностью разрядной сетки ЭВМ, – погрешность e и «невязка» r:
где Доказано, что если e» 0, то и r = 0. Обратное утверждение не всегда верно. Однако если система не плохо обусловлена, для оценки точности решения используют невязку r.
|