![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Метод прогонки. Данный метод также является модификацией метода Гаусса для частного случая разреженных систем – систем с матрицей трехдиагонального типа (краевая задача
Данный метод также является модификацией метода Гаусса для частного случая разреженных систем – систем с матрицей трехдиагонального типа (краевая задача ДУ). Каноническая форма их записи aixi –1 + bixi + cixi +1 = di; i =
b 1 x 1 + c 1 x 2 = d 1; a 2 x 1 + b 2 x 2 + c 2 x 3 = d 2; a 3 x 2 + b 3 x 3 + c 3 x 4 = d 3; ... (10) an –1 xn –2 + bn –1 xn –1 + cn –1 xn = dn –1; anxn –1 + bnxn = dn. При этом, как правило, все коэффициенты bi ¹ 0. Метод реализуется в два этапа – прямой и обратный ходы. Прямой ход. Каждое неизвестное xi выражается через xi +1 xi = Ai × xi +1+ Bi для i = 1, 2,..., n –1, (11) посредством прогоночных коэффициентов Ai и Bi. Определим алгоритм их вычисления. Из первого уравнения системы (10) находим x 1
Из уравнения (11) при i =1: x 1= A 1× x 2+ B 1. Следовательно
Из второго уравнения системы (10) определяем x 2 через x 3, подставляя найденное значение x 1 а 2(A 1 x 2+ B 1) + b 2 x 2 + c 2 x 3 = d 2 , откуда
и согласно (11) при i = 2: x 2= A 2× x 3+ B 2, следовательно
Ориентируясь на соотношения индексов при коэффициентах (12) и (12*) можно получить эти соотношения для общего случая
Обратный ход. Из последнего уравнения системы (10) с использованием (11) при i = n –1
Далее посредством (11) и прогоночных коэффициентов (12), (13) последовательно вычисляем xn –1, xn –2,..., x 1. При реализации метода прогонки нужно учитывать, что при условии | bi | ³ | ai | + | ci |, (15) или хотя бы для одного bi имеет место строгое неравенство (15), деление на «0» исключается и система имеет единственное решение. Заметим, что условие (15) является достаточным, но не необходимым. В ряде случаев для хорошо обусловленных систем (10) метод прогонки может быть устойчивым и при несоблюдении условия (15). Схема алгоритма метода прогонки может иметь вид, представленный на рис. 2.2.
Рис. 2.2. Блок-схема метода прогонки
|