Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Метод прогонки. Данный метод также является модификацией метода Гаусса для частного случая разреженных систем – систем с матрицей трехдиагонального типа (краевая задача
|
|
Данный метод также является модификацией метода Гаусса для частного случая разреженных систем – систем с матрицей трехдиагонального типа (краевая задача ДУ).
Каноническая форма их записи
aixi –1 + bixi + cixi +1 = di; i = 
; a 1 = cn = 0, (9)
или в развернутом виде
b 1 x 1 + c 1 x 2 = d 1;
a 2 x 1 + b 2 x 2 + c 2 x 3 = d 2;
a 3 x 2 + b 3 x 3 + c 3 x 4 = d 3;
... (10)
an –1 xn –2 + bn –1 xn –1 + cn –1 xn = dn –1;
anxn –1 + bnxn = dn.
При этом, как правило, все коэффициенты bi ¹ 0.
Метод реализуется в два этапа – прямой и обратный ходы.
Прямой ход. Каждое неизвестное xi выражается через xi +1
xi = Ai × xi +1+ Bi для i = 1, 2,..., n –1, (11)
посредством прогоночных коэффициентов Ai и Bi. Определим алгоритм их вычисления.
Из первого уравнения системы (10) находим x 1
.
Из уравнения (11) при i =1: x 1= A 1× x 2+ B 1. Следовательно
. (12)
Из второго уравнения системы (10) определяем x 2 через x 3, подставляя найденное значение x 1
а 2(A 1 x 2+ B 1) + b 2 x 2 + c 2 x 3 = d 2 ,
откуда
; (12*)
и согласно (11) при i = 2: x 2= A 2× x 3+ B 2, следовательно
, где е 2= а 2× А 1+ b 2.
Ориентируясь на соотношения индексов при коэффициентах (12) и (12*) можно получить эти соотношения для общего случая
, где еi = аi × Аi –1+ bi (i =2, 3,..., n –1). (13)
Обратный ход. Из последнего уравнения системы (10) с использованием (11) при i = n –1
. (14)
Далее посредством (11) и прогоночных коэффициентов (12), (13) последовательно вычисляем xn –1, xn –2,..., x 1.
При реализации метода прогонки нужно учитывать, что при условии
| bi | ³ | ai | + | ci |, (15)
или хотя бы для одного bi имеет место строгое неравенство (15), деление на «0» исключается и система имеет единственное решение.
Заметим, что условие (15) является достаточным, но не необходимым. В ряде случаев для хорошо обусловленных систем (10) метод прогонки может быть устойчивым и при несоблюдении условия (15).
Схема алгоритма метода прогонки может иметь вид, представленный на рис. 2.2.
Рис. 2.2. Блок-схема метода прогонки