![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Метод Гаусса. Этот метод является наиболее распространенным методом решения СЛАУ
Этот метод является наиболее распространенным методом решения СЛАУ. В его основе лежит идея последовательного исключения неизвестных, в основном, приводящая исходную систему к треугольному виду, в котором все коэффициенты ниже главной диагонали равны нулю. Существуют различные вычислительные схемы, реализующие этот метод. Наибольшее распространение имеют схемы с выбором главного элемента либо по строке, либо по столбцу, либо по всей матрице. С точки зрения простоты реализации, хотя и с потерей точности, перед этими схемами целесообразней применять так называемую схему единственного деления. Рассмотрим ее суть. Посредством первого уравнения системы (1) исключается х 1 из последующих уравнений. Далее посредством второго уравнения исключается х 2 из последующих уравнений и т.д. Этот процесс называется прямым ходом Гаусса. Исключение неизвестных повторяется до тех пор, пока в левой части последнего n -го уравнения не останется одно неизвестное хn a ¢ nnxn = b ¢, (5) где a ¢ nn и b ¢ – коэффициенты, полученные в результате линейных (эквивалентных) преобразований. Прямой ход реализуется по формулам
b * m = bm – где m – номер уравнения, из которого исключается xk; k – номер неизвестного, которое исключается из оставшихся (n – k) уравнений, а также обозначает номер уравнения, с помощью которого исключается xk; i – номер столбца исходной матрицы; akk – главный (ведущий) элемент матрицы. Во время счета необходимо следить, чтобы akk ¹ 0. В противном случае прибегают к перестановке строк матрицы. Обратный ход метода Гаусса состоит в последовательном вычислении xn, xn –1,..., x 1, начиная с (5) по алгоритму xn = b ¢ / a ¢ nn; Точность полученного решения оценивается посредством «невязки» (3). В векторе невязки (r 1, r 2,..., rn)Т отыскивается максимальный элемент и сравнивается с заданной точностью e. Приемлемое решение будет, если r max < e. В противном случае следует применить схему уточнения решения.
|