Метод простой итерации. Технология итерационного решения вида (25*) названа методом простой итерации.

Технология итерационного решения вида (25*) названа методом простой итерации.

Оценка абсолютной погрешности для метода простой итерации

,

напомним, символ ||... || означает норму.

Пример 1. Методом простой итерации с точностью e=0, 001 решить систему линейных уравнений

Число шагов, дающих ответ с точностью до e = 0, 001, можно определить из соотношения

£ 0, 001.

Оценим сходимость по формуле (26). Здесь || G || = = max{0, 56; 0, 61; 0, 35; 0, 61} = 0, 61 < 1; = 2, 15. Значит, сходимость обеспечена.

В качестве начального приближения возьмем вектор свободных членов, т.е. = (2, 15; –0, 83; 1, 16; 0, 44)^Т. Подставим значения вектора в формулы (25*):

Продолжая вычисления, результаты занесем в таблицу:

Сходимость в тысячных долях имеет место уже на 10-м шаге.

Ответ: х ₁» 3, 571; х ₂» –0, 957; х ₃» 1, 489; х ₄» –0, 836.

Это решение может быть получено и с помощью формул (27*).

Пример 2. Для иллюстрации алгоритма с помощью формул (27*), рассмотрим решение системы (только две итерации):

; . (30)

Преобразуем систему к виду (25) согласно (27*):

Þ (31)

Возьмем начальное приближение = (0; 0; 0)^Т. Тогда для k = 0 очевидно, что значение = (0, 5; 0, 8; 1, 5)^Т. Подставим эти значения в (31), т.е. при k =1, получим = (1, 075; 1, 3; 1, 175)^Т.

Ошибка e₂ = = max(0, 575; 0, 5; 0, 325) = 0, 575.

Блок-схема алгоритма нахождения решения СЛАУ по методу простых итераций согласно рабочим формулам (27*) представлена на рис. 2.4.

Рис. 2.4. Блок-схема метода простых итераций для решения СЛАУ

Особенностью блок-схемы являются блоки:

(13) – назначение его рассмотрим ниже;

(21) – вывод результатов на экран;

(22) – проверка (индикатор) сходимости.

Проведем анализ предложенной схемы на примере системы (30) (n = 3, w =1, e = 0, 001):

= ; .

Блок 1. Вводим исходные данные A, , w, e, n: n = 3, w =1, e = 0, 001.

Цикл I. Задаем начальные значения векторов x 0 _i и х_i (i = 1, 2, 3).

Блок 5. Обнуляем счетчик числа итераций.

Блок 6. Обнуляем счетчик текущей погрешности.

Цикл II – счетчик номеров матрицы А и вектора :

i = 1: S = b ₁ = 2 (блок 8).

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Переходим во вложенный Цикл III, блок 9 – счетчик номеров столбцов матрицы А: j = 1.

Блок 10: j = i, следовательно, возвращаемся к блоку 9 и увеличиваем j на единицу: j = 2.

В блоке 10 j ¹ i (2 ¹ 1) – выполняем переход к блоку 11.

Блок 11: S = 2 – (–1) × х 0₂ = 2 – (–1) × 0 = 2, и переходим к блоку 9, в котором j увеличиваем на единицу: j = 3.

В блоке 10 условие j ¹ i выполняется, поэтому переходим к блоку 11.

Блок 11: S = 2 – (–1) × х 0₃ = 2 – (–1) × 0 = 2, после чего переходим к блоку 9, в котором j увеличиваем на единицу (j = 4). Значение j больше n (n = 3) – заканчиваем цикл и переходим к блоку 12.

Блок 12: S = S / a ₁₁ = 2 / 4 = 0, 5.

Блок 13: w = 1; S = S + 0 = 0, 5.

Блок 14: d = | x_i – S | = | 1 – 0, 5 | = 0, 5.

Блок 15: x_i = 0, 5 (i = 1).

Блок 16: Проверяем условие d > de: 0, 5 > 0, следовательно, переходим к блоку 17, в котором присваиваем de = 0, 5 и выполняем возврат по ссылке «А» к следующему шагу цикла II – к блоку 7, в котором i увеличиваем на единицу:

i = 2: S = b ₂ = 4 (блок 8).

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Переходим во вложенный Цикл III, блок 9: j = 1.

Посредством блока 10 j ¹ i (1 ¹ 2) – выполняем переход к блоку 11.

Блок 11: S = 4 – 1 × 0 = 4, и переходим к блоку 9, в котором j увеличиваем на единицу: j = 2.

В блоке 10 условие не выполняется, поэтому переходим к блоку 9, в котором j увеличиваем на единицу: j = 3. По аналогии переходим к блоку 11.

Блок 11: S = 4 – (–2) × 0 = 4, после чего заканчиваем цикл III и переходим к блоку 12.

Блок 12: S = S / a ₂₂ = 4 / 5 = 0, 8.

Блок 13: w = 1; S = S + 0 = 0, 8.

Блок 14: d = | 1 – 0, 8 | = 0, 2.

Блок 15: x_i = 0, 8 (i = 2).

Блок 16: Проверяем условие d > de: 0, 2 < 0, 5; следовательно, переходим возврат по ссылке «А» к следующему шагу цикла II – к блоку 7:

i = 3: S = b ₃ = 6 (блок 8).

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Переходим во вложенный Цикл III, блок 9: j = 1.

Посредством блока 10 выполняем переход к блоку 11.

Блок 11: S = 6 – 1 × 0 = 6, и переходим к блоку 9: j = 2.

Посредством блока 10 выполняем переход к блоку 11.

Блок 11: S = 6 – 1 × 0 = 6. Заканчиваем цикл III и переходим к блоку 12.

Блок 12: S = S / a ₃₃ = 6 / 4 = 1, 5.

Блок 13: S = 1, 5.

Блок 14: d = | 1 – 1, 5 | = 0, 5.

Блок 15: x_i = 1, 5 (i = 3).

Согласно блоку 16 (с учетом ссылок «А» и «С») выходим из цикла II и переходим к блоку 18:

Блок 18. Увеличиваем число итераций it = it + 1 = 0 + 1 = 1.

В блоках 19 и 20 цикла IV заменяем начальные значения х 0 _i полученными значениями х_i (i = 1, 2, 3).

Блок 21. Выполняем печать промежуточных значений текущей итерации, в нашем случае: = (0, 5; 0, 8; 1, 5) ^T, it = 1; de = 0, 5.

Посредством блока 22 по ссылке «D» переходим к блоку 6 и de = 0.

Переходим к циклу II на блок 7 и выполняем рассмотренные вычисления с новыми начальными значениями х 0 _i (i = 1, 2, 3).

После чего получим: х ₁ = 1, 075; х ₂ = 1, 3; х ₃ = 1, 175.

Блок 18. Увеличиваем число итераций it = it + 1 = 1 + 1 = 2.

В блоках 19 и 20 цикла IV заменяем начальные значения х 0 _i полученными х_i (i = 1, 2, 3).

Блок 21. Выполняем печать значений второй итерации: = (1, 075; 1, 3; 1, 175) ^T, it = 2; de = 0, 575; и т.д.