Обращение матрицы А посредством треугольных матриц

Известно, что всякая обратная матрица, если она существует, то по структуре будет такая же, как и исходная, т.к.

А ^–1× А = А × А ^–1 = Е = . (39)

Рассмотрим пример обращения матрицы 3-го порядка следующего вида:

А = . (40)

Решение. Матрицу А ^–1 ищем в виде

А ^–1 = . (41)

Перемножая А и А ^–1 с учетом (39) будем иметь t ₁₁ = 1; t ₁₁ + 2 t ₂₁ = 0; 2 t ₂₂ = 1;

Отсюда последовательно находим t ₁₁ = 1; t ₂₁ = –1/2; t ₃₁ = 0; t ₂₂ = 1/2; t ₃₂ = –1/3; t ₃₃ = 1/3, следовательно

А ^–1 = . (42)

Перемножив (42) и (40) получим (39).

Известно, что любая произвольная матрица А может быть представлена в виде двух треугольных.

Например, пусть имеется матрица

. (43)

Будем искать Т ₁ = и Т ₂ = . Диагональ в матрице Т ₂ искусственно берется равной 1. Тогда

A = T ₁ × T ₂. (44)

Реализуя (44) и сравнивая с (43), получим

= .

Сравнивая значения правой и левой частей и выполняя простейшие вычисления, очевидно:

t ₁₁ = 1; t ₁₁ r ₁₂ = –1; t ₁₁ r ₁₃ = 2;

t ₂₁ = –1; t ₂₁ r ₁₂ + t ₂₂ = 5; t ₂₁ r ₁₃+ t ₂₂ r ₂₃ = 4;

t ₃₁ = 2; t ₃₁ r ₁₂ + t ₃₂ = –1; t ₃₁ r ₁₃+ t ₃₂ r ₂₃ + t ₃₃ = 14;

Решив полученную систему, получим

t ₁₁ = 1; t ₂₁ = –1; t ₃₁ = 2;

t ₂₂ = 4; t ₃₂ = 6; t ₃₁ = 1;

r ₁₂ =–1; r ₁₃ = 2; r ₂₃ = 3/2.

Таким образом Т ₁ = и Т ₂ = , тогда A ^–1 = .