Метод половинного деления. Отделить корень х* уравнения f(x) = 0 – значит указать окрестность точки x*, не содержащую других корней этого уравнения.

Отделить корень х ^* уравнения f (x) = 0 – значит указать окрестность точки x ^*, не содержащую других корней этого уравнения.

Рис. 3.1

Как известно из анализа, если непрерывная функция f (x) на концах отрезка [ a, b ] принимает значения разных знаков, т.е. если f (a)× f (b) < 0, то внутри этого отрезка существует, по крайней мере, один корень уравнения f (x) = 0 (рис 3.1). При этом корень x * будет единственным, если f ' (x) сохраняет знак внутри интервала (а, b) (рис. 3.1 а).

На практике отделение корней уравнения f (x) = 0 на отрезке [ а, b ] и начинается с проверки условия f (a)× f (b) < 0. Если это условие выполнено, то, следовательно, на (a, b) имеется корень и дальнейшая задача состоит в выяснении его единственности или не единственности.

Для отделения корней практически достаточно провести процесс половинного деления, в соответствии с которым отрезок [ a, b ] делится на 2, 4, 8, … равных частей и последовательно определяются знаки функции в точках деления. При этом если в точках деления х_i, х_{i +1} выполнено условие f (х_i)× f (х_{i +1}) < 0, то на интервале (х_i, х_{i +1}) имеется корень уравнения f (x) = 0. При определении корней всегда стараются найти интервал (х_i, х_{i +1}) как можно меньшей длины.

Согласно вышеизложенному, получается следующий алгоритм определения корней уравнения f (x) = 0:

1) находим участки возрастания и убывания функции f (x) (с помощью производной f ¢ (x), если она существует);

2) составляем таблицу знаков функции f (x) в стационарных точках (или ближайших к ним), а так же в граничных точках области определения f (x);

3) определяем интервалы по правилу x_i = a + (i – 1)× (b – a)/ m – 1; i = 1, 2, …, m, на которых f (x) имеет противоположные знаки. Внутри таких интервалов содержится только по одному корню. На рисунке 3.1 б интервалы монотонности функции (a, c), (c, d), (d, b), на концах которых функция имеет противоположные знаки. Корнями уравнения f (x) = 0 на отрезке [ a, b ] в данном случае являются точки x ₁, x ₂ и x ₃.