Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Метод Зейделя. Данный метод является модификацией метода простой итерации и для системы (25) имеет следующую технологию
|
|
Данный метод является модификацией метода простой итерации и для системы (25) 
имеет следующую технологию
(32)
Суть его состоит в том, что при вычислении очередного приближения 
в системе (32) и в формуле (27*), если имеет место соотношение (27), вместо 
используются уже вычисленные ранее 
, т.е. (27*) преобразуется к виду
, i = 1, …, n. (33)
Это позволяет ускорить сходимость итераций почти в два раза. Оценка точности аналогична методу простой итерации. Схема алгоритма аналогична схеме метода простой итерации, если x 0 j заменить на xj и убрать строки x 0 i = 1, x 0 i = xi.
Пример. Методом Зейделя решить систему линейных уравнений с точностью e = 0, 0001, приводя ее к виду, удобному для итераций.
(34)
Условия (27) для системы не удовлетворяются, поэтому приведем ее к виду соответствующему данному требованию.
(35)
Здесь 
, значит, процесс Зейделя сходится.
По технологии счета (32) 
| k | х 1 | х 2 | х 3 | k | х 1 | х 2 | х 3 |
| 0.19 | 0.97 | –0.14 | 0.2467 | 1.1135 | –0.2237 | ||
| 0.2207 | 1.0703 | –0.1915 | 0.2472 | 1.1143 | –0.2241 | ||
| 0.2354 | 1.0988 | –0.2118 | 0.2474 | 1.1145 | –0.2243 | ||
| 0.2424 | 1.1088 | –0.2196 | 0.2475 | 1.1145 | –0.2243 | ||
| 0.2454 | 1.1124 | –0.2226 |
Ответ: x 1 = 0.248; x 2 = 1.115; x 3 = –0.224.
Замечание. Если для одной и той же системы методы простой итерации и Зейделя сходятся, то метод Зейделя предпочтительнее. Однако на практике имеет место ситуация, когда области сходимости этих методов могут быть различными, т.е. метод простой итерации сходится, а метод Зейделя расходится и наоборот. Для обоих методов, если 
близка к единице, скорость сходимости очень малая.
Для ускорения сходимости тогда используется искусственный прием – так называемый метод релаксации. Суть его заключается в том, что полученное по методу итерации очередное значение 
пересчитывается по формуле:
(36)
w – как правило, принято изменять в пределах 0 < w £ 2 с каким-то шагом (можно h = 0, 1 или 0, 2). Параметр w подбирают так, чтобы сходимость метода достигалась за минимальное число итераций.
Релаксация – (физ.тех.) постепенное ослабление какого-либо состояния тела после прекращения действия факторов вызвавших это состояние.
Пример. Рассмотрим результат пятой итерации с применением формулы релаксации. Возьмем w = 1, 5.
Как видно мы получили почти результат седьмой итерации.