![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Метод простой итерации. Метод простой итерации применяется к решению уравнения (1), разрешенному относительно x:
Метод простой итерации применяется к решению уравнения (1), разрешенному относительно x: x = j(x). (5) Переход от записи (1) к эквивалентной записи (5) можно сделать многими способами. Метод состоит в построении последовательности (2) в виде:
Если j(xn) – непрерывная функция, а xn – сходящаяся последовательность, то искомое значение x * = Например, получим (5) из (1) следующим образом: умножим (1) на подобранную специальным образом функцию y(x) ¹ 0 (в частности можно взять y(x) = const) и сложим с тождеством x = x, тогда (5) будет иметь вид, эквивалентный виду (3):
Подбирая y(x) добиваются сходимости решения (6). Она может быть монотонной (если j ' (x) > 0), или колеблющейся (если j ' (x) < 0). Метод, очевидно, является одношаговым (m =1) и для начала вычислений нужно знать одно начальное приближение x 0 = a, или x 0 = b, или x 0 = (a+b)/2.
В методе простой итерации сходимость гарантированна не всегда, например, если j(x) имеет такой характер: Такая ситуация может быть устранена подбором y(x) в (6). Что касается выбора y(x), то можно взять, например, y(x) = Const = 1/ k. В этом случае необходимо, чтобы | k | > max| f ¢ (x)| / 2. При этом знак k должен совпадать со знаком f ¢ (x). Доказано, что в общем случае расходимость (несходимость) исключается, если подбирается соотношение | j'(x) | £ q < 1. (7) При этом скорость сходимости увеличивается при уменьшении величины q. Максимальный интервал (a, b) при выполнении условия (7) называется областью сходимости. Для данной оценки (7) берется любое x Î (a, b); x* Î (a, b). Итерационный процесс уточнения корня заканчивается, когда {| xn – xn –1| или | f (xn) – f (xn –1)|} < e.
|