Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Интерполяционный многочлен Ньютона. Как и в предыдущем случае строится многочлен (2) с соблюдением условий (3) специфического вида
|
|
Как и в предыдущем случае строится многочлен (2) с соблюдением условий (3) специфического вида. Интерполяционный многочлен Ньютона ищется в следующем виде:
N (x)= a 0+ a 1(x – x 0)+ a 2(x – x 0)(x – x 1)+…+ an (x – x 0)(x – x 1)…(x – xn –1). (17)
Как и в случае (8) для получения рабочей формулы Ньютона необходимо определить значения коэффициентов ai. В отличие от технологии расчета (9) для построения интерполяционного многочлена Ньютона вводится рабочий аппарат в виде, так называемых, конечных разностей для системы равноотстоящих интерполяционных узлов и в виде разностных отношений (разделенные разности) для произвольной системы узлов.
Пусть заданны равноотстоящие узлы xk = x 0 + kh, h = xi +1 – xi = const > 0. Значения f (x) в них обозначим f (xk) = fk = yk, k = 
Конечными разностями первого порядка принято называть величины
D f (xi) = D fi = fi +1 – fi; i = 
.
Конечные разности второго порядка определяются равенствами
i = .
Конечные разности (k +1)-го порядка определяются через разности k -го порядка
i = ; k = 
. (18)
Конечные разности, как правило, вычисляются по следующей схеме:
Таблица 1
| i | fi | D fi | D2 fi | D3 fi | … |
| f 0 | |||||
| D f 0 | |||||
| f 1 | D2 f 0 | ||||
| D f 1 | D3 f 0 | ||||
| f 2 | D2 f 1 | ||||
| D f 2 | D3 f 1 | ||||
| f 3 | D2 f 2 | ||||
| D f 3 | |||||
| f 4 | |||||
| … | … |
Каждая последующая конечная разность получается путем вычитания в предыдущей колонке верхней строки из нижней строки. Последняя колонка D kfi будет равна нулю. Заметим, что конечные разности можно выразить непосредственно через значения функций. Так для i -го узла рабочая формула имеет вид:
D kfi = 
; i = ; k = 1, 2,... (19)
Разностными отношениями (разделенными разностями) первого порядка называются величины
f (x 0, x 1)= 
f (x 1, x 2)= 
;...
Здесь xi – произвольные узлы с соблюдением приоритетности по величине.
По этим соотношениям составляются разностные отношения второго порядка:
f (x 0, x 1, x 2) = 
; f (x 1, x 2, x 3) = 
; …
Разделенные разности порядка (k +1), k = 1, 2,... определяются при помощи разделенных разностей предыдущего порядка k по формуле:
f (x 0, x 1, …, xk +1) = 
. (20)
Разностные отношения вычисляются по следующей схеме:
Таблица 2
| i | xi | fi | f (xi, xi +1) | f (xi, xi +1, xi +2) | … |
| x 0 | f 0 | ||||
| f (x 0, x 1) | |||||
| x 1 | f 1 | f (x 0, x 1, x 2) | |||
| f (x 1, x 2) | |||||
| x 2 | f 2 | f (x 1, x 2, x 3) | |||
| f (x 2, x 3) | |||||
| x 3 | f 3 | f (x 2, x 3, x 4) | |||
| ... | … | … | … | … | … |
Для равноотстоящих узлов xk = x 0 + kh (k = ) имеет место соотношение между разделенными разностями и конечными разностями
f (x 0, x 1, …, xk) = 
k = 0, 1, 2,... (21)
Конечная разность и разделенная разность порядка n от многочлена степени (n) равны постоянной величине, и, следовательно, они для более высокого порядка равны нулю.