Постановка задачи. При решении многих практических задач часто приходится вычислять значения каких-то функциональных зависимостей y = f(x).

При решении многих практических задач часто приходится вычислять значения каких-то функциональных зависимостей y = f (x).

При этом, как правило, имеют преобладающее место две ситуации.

1. Явная зависимость между х и y на [ a, b ] отсутствует, а имеется только таблица экспериментальных данных { x_i, y_i }, и возникает необходимость определения y = f (x) на интервале [ x_i, x_{i /2}] Î [ a, b ]. К этой задаче относится также уточнение таблиц экспериментальных данных.

2. Зависимость y = f (x) известна и непрерывна, но настолько сложна, что не пригодна для практических расчетов. Стоит задача упрощения вычисления значений y = f (x) и ее характеристик ( и т.д.). Поэтому, с точки зрения экономии времени и материальных ресурсов, приходят к необходимости построения какой-то другой функциональной зависимости y = F (x), которая была бы близка к f (x) по основным ее параметрам, но более проста и удобна в реализации при последующих расчетах, т.е. ставится задача о приближении (аппроксимации) в области определения y = f (x). Функцию y = F (x) называют аппроксимирующей.

Основной подход к решению данной задачи заключается в том, что y = F (x) выбирается зависящей от каких-то свободных параметров эксперимента, т.е. y = F (x) = j(x, c ₁, c ₂, …, c_n) = j(x, ). Значения вектора выбираются из каких-то условий близости для f (x) и F (x).

B зависимости от способа подбора вектора , получают различные виды аппроксимации.

Если приближение строится на каком-то дискретном множестве { x_i }, i = , то аппроксимация называется точечной. К ней относится интерполирование, среднеквадратичное приближение (МНК). Если множество { x_i } непрерывно, например, в виде отрезка [ a, b ], аппроксимация называется непрерывной или интегральной (полиномы Чебышева).

В настоящее время на практике хорошо изучена и широко применяется линейная аппроксимация, при которой j(x, ) выбирается линейно-зависящий от параметров в виде так называемого обобщенного многочлена:

F (x) = j(x, ) = c ₁j₁(x) + c ₂j₂(x) + … + c_n j _n (x) = ; (1)

здесь j _k (x) – какая-то выбранная линейно-независимая система базисных функций. В качестве их могут быть, например,

– алгебраическая: 1, x, x ²,..., xⁿ,...;

– тригонометрическая: 1, sin(x), cos(x), … sin(nx), cos(nx), …;

– экспоненциальная: e ^{a0 x}, e ^{a1 x}, …, e ^{a nx}, …;

где {a _i } – некоторая числовая последовательность попарно различных действительных чисел.

Важным является, чтобы эта система была полной, т.е. обеспечивающей аппроксимацию посредством (1) c заданной точностью на всех интервалах [ а, b ] определения y = f (x).

Для большинства практических задач наиболее удобна первая из них, представляющая собой в итоге обычные алгебраические многочлены.