![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Метод Ньютона для систем двух уравнений
Пусть дана система Согласно методу Ньютона последовательные приближения типа (5) вычисляются по формулам
где
и, если Якобиан
решение будет единственным. Начальные значения x 0 и y0 определяются грубо (приближенно – графически или «прикидкой»). Данный метод эффективен только при достаточной близости начального приближения к истинному решению системы. Пример. Найти корни системы Графическим путем можно найти приближенно x 0 = 1, 2 и y0 = 1, 7.
В начальной точке
По формулам получаем
Продолжая процесс вычисления при x 1 и y1, получим x 2 = 1, 2343; y2 = 1, 6615 и т.д. до достижения желаемой точности.
4.4. Метод Ньютона для систем n -го порядка с n неизвестными
Для метода Ньютона функции Fi = (x 1, x 2,..., xn) из (1) раскладываются в ряд Тэйлора с отбрасыванием производных второго и выше порядков. Пусть известен результат предварительной итерации при решении (1) дает результат для Задача сводится к нахождению поправок этого решения: D x 1, D x 2,..., D xn. Тогда при очередной итерации решение будет: x 1 = a 1 + D x 1; x 2 = a 2 + D x 2; …, xn = an + D xn. (8) Для нахождения D xi разложим Fi (x 1, x 2,..., xn) в ряд Тейлора:
Приравняем правые части согласно (1) к нулю и получим систему линейных уравнений относительно D xi:
Значения F 1, F 2, …, Fn и их производных вычисляются при x 1= a 1, x 2= a 2,..., xn = an. Расчет ведется с учетом (8) по (9) и (10). Процесс прекращается, когда max|D xi | < e. При этом будет иметь место единственное решение системы, если Якобиан
По сходимости этот метод выше метода простой итерации.
|