Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Метод неопределенных коэффициентов
|
|
В основном используется для случая произвольного расположения интерполяционных узлов. В данном случае искомое выражение k -ой производной в некоторой точке x = xi представляется в виде линейной комбинации заданных значений функции yj = f (xj), в узлах 
:
, 
. (13)
Предполагается, что это соотношение выполняется точно, если y = f (x) является многочленом степени не выше n, т.е. если она может быть представлена в виде:
.
Отсюда следует, что соотношение (13) должно выполняться точно для многочленов y = 1, y = x – xj, y = (x – xj)2, y = (x – xj) n. Производные от них соответственно равны:
y ' = 0; y ' = 1; y ' = 2(x – xj), …, y ' = n (x – xj) n –1.
Подставляя эти выражения в левую и правую части (13), получают систему линейных алгебраических уравнений (n + 1)-го порядка для вычисления значений c 0, c 1, …, cn.
Пример. Найти выражение для производной y '1 в случае четырех узлов (n =3), h = const. Запишем (13) в виде:
.
Используем многочлены:
y = 1; y = x – x 0; y = (x – x 0)2; y = (x – x 0)3; (14)
y ' = 0; y ' = 1; y ' = 2(x – x 0); y = 3(x – x 0)2. (15)
Подставим (14) и (15) в искомое уравнение при x = x 1
0 = c 0× 1 + c 1× 1 + c 2× 1 + c 3× 1;
1 = c 0(x 0 – x 0) + c 1(x 1 – x 0) + c 2(x 2 – x 0) + c 3(x 3 – x 0);
2(x 1 – x 0) = c 0(x 0 – x 0)2 + c 1(x 1 – x 0)2 + c 2(x 2 – x 0)2 + c 3(x 3 – x 0)2;
3(x 1 – x 0)2 = c 0(x 0 – x 0)3 + c 1(x 1 – x 0)3 + c 2(x 2 – x 0)3 + c 3(x 3 – x 0)3.
Получаем после преобразования:
Решение полученной системы алгебраических уравнений дает следующие значения:
c 0= 
; c 1= 
; c 2= 
; c 3= 
;
.
Это тождественно соотношению (12) для y' 1, только без указания теоретической погрешности.