![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Погрешность численного дифференцирования
Аппроксимируя исследуемую функцию, ее представляют в виде:
В качестве j(x) можно принять либо интерполяционную функцию, либо частичную сумму ряда. Тогда погрешность аппроксимации R (x) определяется остаточным членом ряда или Pn –1(x). Дифференцируя (6) необходимое число раз находим:
Тогда погрешность аппроксимации Оценку погрешности формул (2) – (5) можно проиллюстрировать с помощью ряда Тейлора. Пусть дважды непрерывно дифференцируемая функция f (x) задана таблицей значений.
Где yi = f (xi), i = Ряд Тейлора в общем виде:
Запишем (7) при x = x 1, y 0 = y 1 – y' 1 h + O (h 2). Тогда y' 1 = Это выражение совпадает с (2) и является аппроксимацией первого порядка (k = 1). Тогда для произвольного узла А по всему отрезку [ a, b ], где h = (b - a)/ n для f ' (x) погрешность не превысит величины R = Полагая для (7) D x = h, можно получить этот результат и для соотношения (3). Для оценки погрешности для (4) и (5) воспользуемся рядом Тейлора, полагая D x = – h и D x = h соответственно получим:
в предположении, что f (x) трижды непрерывно дифференцируемая функция. Вычитая из второго равенства первое, получаем:
Для произвольного узла:
На основании (7) по всему отрезку погрешность аппроксимации не превзойдет величины:
Складывая равенства (8) найдем:
Для отрезка [ xi –1, xi +1] получим:
А погрешность на отрезке [ a, b ] для второй производной оценивается соотношением:
Следует отметить, что, вообще говоря, приближенное дифференцирование представляет собой операцию менее точную, чем интерполирование. Считают, что при численном дифференцировании функции y = f (x), заданной таблично, имеют место два типа погрешностей: а) погрешности усечения, которые вызываются заменой функции y = f (x) интерполяционным многочленом Pn (x); б) погрешности округления, которые вызываются неточным заданием исходных значений yi. При этом известно, что с уменьшением шага численного дифференцирования погрешность округления возрастает, а погрешность же усечения, как правило, убывает. Поэтому при вычислениях по формулам численного дифференцирования стоит задача и оптимального выбора шага h.
|