![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Составные квадратурные формулы с переменным шагом
Проиллюстрируем решение данной проблемы на примере квадратурной формулы прямоугольников. Пусть f (x) Î C 2[ a, b ] с дополнительным ограничением: f " (x) – монотонная знакоопределенная функция на [ a, b ]. Для определенности возьмем f " (x) – монотонно убывающую положительную функцию. Положим x 0 = a. Определим наибольшее значение x 1 из условия (23), т.е. чтобы погрешность для
не превышала заданной величины e. Очевидно, что для этого достаточно решить (24) относительно x 1. Имеем x 1 = Следующие интервалы определяются аналогично. Из рисунка видно, что длина последующих интервалов будет возрастать. Общая формула их определения такова: xi +1 = Количество интервалов k неизвестно, т.к. оно определяется как точностью e, так и поведением f " (x) на интервале [ a, b ]. Однако верхняя оценка для k может быть легко определена по длине наименьшего частичного интервала: k £ Суммируя (30) получим составную квадратурную формулу прямоугольников с переменным шагом:
где xi определяется рекуррентно формулами (31). Для погрешности R имеет место оценка | R | £ k e. В общем случае для произвольной функции f (x), если f " (x) – монотонно возрастающая положительная функция, то частичные интервалы определяются справа налево, т.е. от b к a. Для отрицательной производной f " (x) и монотонно возрастающей – слева направо от a к b, для убывающей – справа налево от b к a. В качестве иллюстрации рассмотрим интегрирование f (x) = e – x /s, s = 10–2 с точностью e = 10–4 на каждом частичном интервале, принадлежащем отрезку [0; 1]. По (31) определим границы интервалов: x 0 = 0, 0000; x 1 = 0, 0062; x 2 = 0, 0138; x 3 = 0, 0237; x 4 = 0, 0374; x 5 = 0, 0590; x 6 = 0, 1030; x 7 = 0, 2990; x 8 = 1, 0000. Общая погрешность имеет оценку R £ 8× 10–4. Такую погрешность посредством формулы прямоугольников с h = const можно получить, если выбирать шаг h на всем интервале из условия K = В общем случае, если f " (x) на всем интервале [ a, b ] не удовлетворяет принятому дополнительному ограничению, то – сначала следует интервал [ a, b ] разбить на частичные интервалы, на которых f " (x) монотонна и знакоопределена; – затем на каждом из них построить составную квадратурную формулу с переменным шагом по приведенным выше формулам.
Аналогичные рассуждения имеют место и для формулы Симпсона с соблюдением монотонности f IV (x). Однако следует заметить, что переход к переменному шагу h не всегда оправдан из-за необходимости вычислять f " (x) и определять ее монотонность и знакоопределенность. Это бывает оправданным только при серийных расчетах.
|