![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Понятие точной квадратурной формулы
Для некоторых классов функций можно записать квадратурные формулы с погрешностью R º 0 сразу для всего класса. Такие квадратурные формулы называются точными. Для иллюстрации этого рассмотрим f (x) = Pm (x) = a 0 + a 1 x +...+ amxm на интервале [ a, b ]. Определим на [ a, b ] произвольные попарно различные узлы x i, 0 £ i £ m. Искомое точное соотношение для данной функции f (x) будет иметь вид согласно (7):
Полином Pm (x) в левой части (8) можно записать в виде интерполяционного многочлена:
Тогда условие (8) позволяет найти значения для весов qi при 0 £ i £ m
Если взять произвольные различные узлы x i на [ a, b ] и вычислить (9), то соотношение (8) имеет место, т.е. Следует заметить, что формула (8) может оказаться точной для полиномов степени большей, чем m. Это достигают специальным выбором узлов x i на отрезке [ a, b ], 0 £ i £ m, что построено Гауссом для полиномов степени 2 m + 1. Практический смысл точных квадратурных формул появляется для таких классов f (x), которые могут быть хорошо аппроксимированными полиномами на интервале [ a, b ]. Тогда применяя точную формулу к f (x), есть надежда получить малую погрешность R в (7) для рассматриваемого класса функций.
|