Сплайны. Пусть интервал [a,b] разбит узлами xi, как и выше, на n отрезков, 0 £ i £ n Сплайном Sn(x) называется функция

Пусть интервал [ a, b ] разбит узлами x_i, как и выше, на n отрезков, 0 £ i £ n Сплайном S_n (x) называется функция, определенная на [ a, b ], принадлежащая C^k [ a, b ] и такая, что на каждом отрезке [ x_i, x_{i +1}], 0 £ i £ n –1 – это полином n -й степени.

В частности, это могут быть, построенные специальным образом, многочлены 3-й степени (кубический сплайн), которые являются математической моделью гибкого тонкого стержня, закрепленного в двух точках на концах с заданными углами наклона a и b.

В данной физической модели стержень принимает форму, минимизирующую его потенциальную энергию. Пусть форма стержня определяется какой-то функцией y = S (x). Из курса сопротивления материалов известно, что уравнение свободного равновесия имеет вид S ^(IV)(x) = 0. А этому состоянию соответствует многочлен третьей степени между двумя соседними узлами интерполяции. Его выбирают в виде

S (x) = a_i + b_i (x – x_{i –1}) + c_i (x – x_{i –1})² + d_i (x – x_{i –1})³; x_{i –1} £ х £ x_i. (31)

Стоит проблема нахождения a_i, b_i, c_i, d_i. Для определения их на всех n элементарных участках интервала [ a, b ] необходимо составить 4 n уравнений. Часть этих уравнений в составе 2 n получают из условия прохождения S (x) через заданные точки, т.е.

S (x_{i –1}) = y_{i –1}; S (x_i) = y_i .

Эти условия можно записать, используя (31) в виде:

(32)

(33)

Уравнения в количестве (2 n –2) получают из условия непрерывности первых и вторых производных в узлах интерполяции. Условие гладкости.

Вычислим производные многочлена (31)

(x) = b_i + 2 c_i (x – x_{i –1}) + 3 d_i (x – x_{i –1})²,

(x) = 2 c_i + 6 d_i (x – x_{i –1}); при x_{i –1} £ х £ x_i. (34)

Приравнивая в каждом внутреннем узле x = x_i значения этих производных, вычисленных на концах рассматриваемого отрезка, получают (2 n –2) уравнений

b_{i +1} = b_i + 2 h_ic_i + 3 h d_i; i =1, 2, …, n –1; (35)

c_{i +1} = c_i + 3 h_id_i; i =1, 2, …, n –1. (36)

Оставшиеся 2 уравнения получают из естественного предположения условия о нулевой кривизне этой функции на концах отрезка.

(37)

Система, составленная из (32) – (37), решается одним из методов решения СЛАУ.

Для упрощения машинных расчетов эта система уравнений приводится к более удобному виду посредством следующего алгоритма.

1. Из условия (32) можно сразу найти a_i.

2. Из (36) – (37) находят:

(38)

3. После подстановки (38) и (32) в (33) находят коэффициенты b_i.

b_i = ;

b_n = . (39)

4. Учитывая (38) и (39) из уравнения (35) исключаются d_i и b_i, тогда исходная система приводится к трехдиагональной матрице, содержащей только коэффициенты c_i. Получаем систему

h_{i –1} c_{i –1} + 2(h_{i –1} + h_i) c_i + h_ic_{i +1} = 3(), i =2, 3, …, n. (40)

При этом c ₁ = 0, c_{n +1} = 0. Система (40) может быть решена методом прогонки. Зная c_i по (38) и (39), определяют b_i и d_i. Тогда кубический многочлен определяется для всех интервалов.

Пример составления системы (40). Пусть функция f (x) задана таблицей