![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Формула Симпсона. Рассмотрим интервал [–h, h], h > 0
Рассмотрим интервал [ –h, h ], h > 0. Предположим, что f (x) Î C 4[– h, h ].
Для соотношения (7) возьмем три узла x0 = xi –1 = – h, x1 = xi =0, x2 = xi +1= h. Соответствующие им весовые коэффициенты получим из аппроксимации f (x) параболой, построенной на точках (– h, f (– h)), (0, f (0)), (h, f (h)) в виде квадратного многочлена y = ax 2 + bx + c. Для получения коэффициентов a, b и c построим многочлен Лагранжа второй степени, проходящий через выбранные точки:
Вычисляем интеграл:
Тогда соотношение (7) запишется в виде:
и называется формулой Симпсона (парабол). Доказано, что погрешность для формулы Симпсона оценивается соотношением:
где xÎ [– h, h ]. Из соотношения (18) следует, что квадратурная формула Симпсона точна для полиномов третьей степени. Отметим, что при применении простейших квадратурных формул требуются вычисления значения подынтегральных функций f (x): а) в одной точке – для формулы прямоугольников; б) в двух точках – для формулы трапеций; в) в трех точках – для формулы Симпсона. Однако, несмотря на малый объем вычислений, область практических применений простейших квадратурных формул ограничена лишь малыми интервалами, поскольку при увеличении h погрешность становится значительной, как видно из формул для погрешностей, что и выдвигает необходимость использования т.н. составных квадратурных формул.
|