![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Формула Симпсона. Разобьем интервал [a, b] на четное число частичных интервалов 2m, где 2m = (b – a)/h.
Разобьем интервал [ a, b ] на четное число частичных интервалов 2 m, где 2 m = (b – a)/ h. Суммируя (17)
получим формулу Симпсона
где Заметим, что в отличие от простейших формул при оценке их погрешности в составных формулах (20), (21) и (22) нахождение точки x Î [ a, b ] однозначно неопределенно. На конкретном примере можно оценить точный выбор точки x для рассчитанных выше составных формул для интервала [ a, b ]. Пример. Вычислить интеграл Возьмем произвольно h = 0, 1. Тогда
= 0, 1(e 0, 05+ e 0, 15+ e 0, 25+ e 0, 35+ e 0, 45+ e 0, 55+ e 0, 65+ e 0, 75+ e 0, 85+ e 0, 95) = 1, 7176;
= 0, 05[ e 0, 0 +2(e 0, 1+ e 0, 2+ e 0, 3+ e 0, 4+ e 0, 5+ e 0, 6+ e 0, 7+ e 0, 8+ e 0, 9) + e 1] = 1, 7197;
= 0, 1/3× [ e 0, 0 +4(e 0, 1+ e 0, 3+ e 0, 5+ e 0, 7+ e 0, 9) +2(e 0, 2+ e 0, 4+ e 0, 6+ e 0, 8) + e 1] = 1, 7182828. Точное значение I позволяет определить точки x для формул соответствующих погрешностям R в (20), (21), (22).
Следовательно, для каждой квадратурной формулы следует выбирать свое x с точки зрения оценки точности, что связано с очевидными расчетными трудностями. Утверждение, что повышение точности вычисления интеграла напрямую связано с уменьшением шага h также не совсем верно. Из практики известно, что, начиная с некоторого (n 0) погрешность вычислений снова начинает увеличиваться по причине округлений малых величин, т.е. В общем случае погрешность интегрирования может быть представлена в виде:
где D qi – абсолютная погрешность весов, Dx i – абсолютная погрешность узлов, R – погрешность квадратурной формулы. В связи с вышеизложенным, при вычислении интеграла для выбранной формулы численного интегрирования по заданной точности e, выбор шага h производится из следующих соображений:
Соотношение (23) означает, что шаг h, а, следовательно, и число точек n, в которых вычисляется f (x), определяется значением x с наихудшим поведением f (x) с точки зрения погрешности R. Однако такое правило разбиения интервала интегрирования может приводить к избыточным вычислениям, если f (x) имеет только частные интервалы с ее «плохим» поведением относительно длины отрезка [ a, b ]. Для примера рассмотрим подынтегральную функцию типа: f (x) = e – x /s Таким образом, возникает задача применения простейших квадратурных формул интегрирования с переменным шагом интегрирования на отрезке [ a, b ]. Данная ситуация будет рассмотрена ниже.
|