![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Метод Эйлера. Этот метод основан на разложении искомой функции Y(x) в ряд Тейлора в окрестностях узлов системы x = xi (i = 0
Этот метод основан на разложении искомой функции Y (x) в ряд Тейлора в окрестностях узлов системы x = xi (i = 0, 1, 2, …, n), в котором отбрасываются все члены, содержащие производные второго и более высоких порядков. Как правило, используется равномерная сетка D x = xi +1 – xi = h = const (i =
Заменяя значение функции Y (x) в узлах сетки xi значениями сеточной функции и используя уравнение (4), получим
Тогда из (13) получим
При i = 0, для узла x = x 1: Далее по алгоритму (14)
...
Геометрическая интерпретация имеет вид: На рисунке линия «0» – точное решение, линии «1» и «2» – приближенные решения. Искомая интегральная кривая y (x), проходящая через точку (x 0, y 0), заменяется ломаной с вершинами в точках (xi, yi). Каждое звено ломаной имеет направление, совпадающее с направлением интегральной кривой (4), которая проходит через точку (xi, yi). Блок-схема алгоритма будет иметь следующий вид:
Вывод полученных результатов выполняется на каждом шаге, но если необходимо сохранить результаты, то следует ввести массив значений y 0, y 1,..., yn. Локальная погрешность метода Эйлера, как видно из (13), оценивается, как О (h 2). Весь интервал [ a, b ] разбивается на n частей, тогда общая погрешность n О (h 2) = Для оценки погрешности при машинном расчете пользуются двойным просчетом, т.е. на отрезке [ xi, xi +1] расчет повторяют с шагом h /2 и погрешность более точного решения у * i +1 (при шаге hi /2) оценивается как разность
|