![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Метод Эйлера с последующей итерационной обработкой
Метод Эйлера можно еще более уточнить, применяя итерационную обработку каждого полученного значения yi. А именно, сначала исходя из первого грубого приближения по (16)
строят итерационный процесс согласно (15) по следующей схеме
Итерации продолжают до тех пор, пока в двух последовательных приближениях Пример. По методу Эйлера составить таблицу решения на отрезке [0; 1] для уравнения Результаты вычислений поместим в таблицу, которая заполняется следующим образом:
В первой строке при i = 0 записывается x 0 = 0, y 0 = 1, 000 и по ним вычисляется f (x 0, y 0) = 1, а затем D y 0 = hf (x 0, y 0) = 0, 2. Тогда по формуле (14) получаем y 1 = 1 + 0, 2 = 1, 2. Значения x 1 = 0, 2 и y1 = 1, 2000 записываются во второй строке при i = 1. Используя их можно вычислить f (x 1, y 1) = 0, 8667; D y 1 = hf (x 1, y 1) = 0, 2× 0, 8667 = 0, 1733. Тогда y 2 = y 1 + D y 1 = 1, 2 + 0, 1733 = 1, 3733. При i = 2, 3, 4, 5 вычисления ведутся аналогично. В последнем столбце таблицы для сравнения помещены значения точного решения. Из таблицы видно, что абсолютная погрешность для y 5 составляет Замечание. Метод Эйлера легко распространяется на системы дифференциальных уравнений и на ДУ высших порядков при их предварительном приведении к системам ДУ первого порядка. Рассмотрим систему двух уравнений первого порядка
с начальными условиями y (x 0) = y 0 и z (x 0) = z 0. Тогда приближенные значения y (xi)» yi и z (xi)» zi вычисляются по формулам
Пример. Применяя метод Эйлера, составить на отрезке [1; 1, 5] таблицу значений решения уравнения
с начальными условиями y (1) = 0, 77 и y' (1) = –0, 44, выбрав шаг h = 0, 1. Решение. Заменим уравнение (21) посредством подстановки y' = z, y" = z' системой уравнений первого порядка с начальными условиями y (1) = 0, 77 и z (1) = –0, 44. Таким образом, имеем Результаты вычисления по формулам (20) записаны в таблице
Таблица заполняется следующим образом. Записываем в первой строке i = 0, x 0=1, 0; y 0 = 0, 77; z 0 = –0, 44. Далее находим Используя формулы (20) получаем Таким образом, во второй строке таблицы мы можем записать i = 1; x 1 = 1, 1; y 1 = 0, 726; z 1 = –0, 473. По этим значениям находим И, следовательно, Заполнение таблицы при i =2, 3, 4, 5 производятся аналогично.
|