![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Метод Рунге-Кутта. На его основе могут быть построены разностные схемы разного порядка точности
На его основе могут быть построены разностные схемы разного порядка точности. Идея его реализации стоит в подгонке ряда Тейлора при разложении искомой функции y = y (x) в окрестностях узлов сетки в плане повышения точности этого разложения, а именно, увеличение числа производных высшего порядка без их непосредственного определения из-за сложности аналитических выражений полных производных по x от функции f (x, y). Рассмотрим наиболее широко применяемую на практике разностную схему четвертого порядка. Ее алгоритм состоит в следующем:
где
В данной расчетной схеме Рунге-Кутта на каждом шаге вычисления yi нужно 4-е раза обратиться к правой части уравнения f (x, y), т.е. метод Рунге-Кутта (22) требует бó льшего объема вычислений, однако это окупается повышенной точностью, что позволяет проводить расчет с большим шагом. Можно показать, что метод Эйлера и его модифицированный вариант является аналогом метода Рунге-Кутта первого и второго порядка, однако для достижения одинаковой точности у них шаг расчета будет значительно меньше. Для данного метода шаг расчета можно менять при переходе от одной точке к другой. Для контроля правильности выбора шага h рекомендуется вычислять дробь
Величина Q не должна превышать нескольких сотых. В противном случае h следует уменьшать. Оценка погрешности метода затруднительна. Чаще всего используется грубая оценка погрешности по формуле При реализации (на ЭВМ) метода Рунге-Кутта с автоматическим выбором шага, обычно в каждой точке xi и делают двойной просчет сначала с шагом h, потом с h /2. Если полученное yi при этом различается в пределах допустимой точности, то шаг h для следующей точки xi +1 удваивают, в противном случае берут половинный шаг. В заключении следует отметить, что одношаговые методы Рунге-Кутта успешно могут быть применены к решению систем ДУ первого порядка.
|