Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Формула Лагранжа
|
|
Интерполяционная формула Лагранжа обеспечивает построение алгебраического многочлена Pn (x) для произвольно заданных узлов интерполирования. Для n + 1 различных значений аргумента x 0, x 1,..., xn и соответствующих значений функции f (x 0) = y 0, f (x 1) = y 1,..., f (xn) = yn интерполяционная формула Лагранжа имеет вид
,
где х - значение аргумента функции, расположенного в интервале [ x 0, xn ].
Необходимо отметить, что формула Лагранжа, в отличие от других интерполяционных формул, содержит явно yi (i = 
), что бывает иногда важно.
Пример 1. Построить интерполяционный многочлен Лагранжа для функции, заданной следующей таблицей.
| x 0 = 0, | x 1 = 1, | x 2 = 2, | x 3 = 5, |
| y 0 = 2, | y 1 = 3, | y 2 = 12, | y 3 = 147. |
 |
Для случая четырех узлов интерполяции (n = 3) многочлен Лагранжа представляется следующим образом:
Заменив переменные xi, yi (i = 
)их числовыми значениями, получим интерполяционный многочлен
 |
Интерполирование по формуле Лагранжа связано с большим объемом вычислений, значительная часть которых повторяется при получении нескольких значений Pn (x) для одной функции f (x). В том случае, когда формула Лагранжа используется для многократного получения значений одной функции при различных значениях аргумента, можно значительно уменьшить объем вычислений. Для этого формула Лагранжа представляется в виде
 |
где
- лагранжевы коэффициенты, определяемые как
 |
 |
Вычисление лагранжевых коэффициентов выполняется по следующей схеме, удобной при использовании ЭВМ. Составляется таблица разностей:
Произведение элементов i -й строки обозначается через Ki. Отсюда лагранжевы коэффициенты вычисляются по формуле
 |
где П n +1(x) = (x - x 0)(x - x 1)…(x - xn) - произведение элементов главной диагонали таблицы (эти элементы подчеркнуты). Тогда формула Лагранжапринимает вид:
 |
Использование формулы (2) позволяет сократить значительную часть вычислений по определению лагранжевых коэффициентов Li (n)(x) при различных значениях аргумента. Для этого произведение элементов i -й строки таблицы разностей представляется как Ki = (x – xi) Di, где Di - произведение всех элементов строки, кроме расположенного на главной диагонали. Величина Di (i= 
)не зависит от значения аргумента x и может быть вычислена для заданной функции только один раз.