Признаки возрастания (убывания) функции на промежутке

Если дифференцируемая функция у = f(х) возрастает в данном интервале, то производная этой функции не отрицательна в этом интервале.

Если дифференцируемая функция у = f(х) убывает в данном интервале, то производная этой функции не положительна в этом интервале.

Теорема

Если производная функции у = f(х) положительна (отрицательна) в некотором интервале, то функция в этом интервале монотонно возрастает (убывает).

4.3.3. Экстремум функции: определение, необходимое и достаточное условие существования экстремума

Определение

Точка х = а называется точкой максимума (минимума) функции f(x), если имеет место неравенство f(a) > f(x) (соответственно f(a) < f (x)) для любого х из некоторой окрестности х = а.

Максимум и минимум функции объединяют названием экстремум функции, иначе говоря, точки максимума и минимума называют точками экстремума (или экстремальными точками).

Необходимый признак существования экстремума

Если х = а является точкой экстремума функции y = f(x) и производная в этой точке существует, то она равна нулю: f’(a) = 0.

Достаточный признак существования экстремума

Если производная f’(x) при переходе х через а меняет знак, то а является точкой экстремума.

Если при переходе через критическую точку x₀ производная f’(x) меняет знак, то функция f(x) имеет в точке x₀ экстремум: минимум в том случае, когда производная меняет знак с минуса на плюс, и максимум – когда с плюса на минус. Если же при переходе через критическую точку x₀ производная f’(x) не имеет знака, то функция f(x) в точке x₀ не имеет экстремума.

Выпуклость и вогнутость функции на промежутке, точки перегиба

Определение

Кривая у = f(х) называется вогнутой в промежутке а < x < b, если она лежит выше касательной в любой точке этого промежутка (рис. 4.3.1).

Рисунок 4.3.1.