Пример 2. Исследовать на экстремум функцию f(x) = 2x3-3x2.

Исследовать на экстремум функцию f(x) = 2x³-3x².

Находим f’(x) = 2*3x²-6x = 6x²-6x.

Находим критические точки: 6x²-6x = 0, 6x(x-1) = 0. Следовательно,

Находим вторую производную: f’’(x) = [f’(x)]’ = (6x²-6x)’ = (6x²)’-(6x)’ = 12x-6.

Определяем знак второй производной в критических точках:

f’’(0) = 12*0-6 = -6 < 0. Следовательно, x = 0 – точка максимума;

f’’(1) = 12*1-6 = 12-6 = 6 > 0. Следовательно, x = 1 – точка минимума.

Вычисляем экстремальные значения функции:

Максимум f_маx = f(0) = 2*0³-3*0² = 0.

Минимум f_min = f(1) = 2*1³-3*1² = -1.

Выводы по теме

1. При исследовании графика функции особенно важным является вопрос об экстремумах данной функции на данном отрезке.

2. Точка х = а называется точкой максимума (минимума) функции f(x), если имеет место неравенство f(a) > f(x) (соответственно f(a) < f(x)) для любого х из некоторой окрестности х = а.

3. Максимум и минимум функции объединяют названием экстремум функции, иначе говоря, точки максимума и минимума называют точками экстремума (или экстремальными точками).

4. Необходимый признак существования экстремума: если х = а является точкой экстремума функции y = f(x) и производная в этой точке существует, то она равна нулю: f’(a) = 0.

Достаточный признак существования экстремума: если производная f’(x) при переходе х через а меняет знак, то а является точкой экстремума.

5. Если при переходе через критическую точку x₀ производная f’(x) меняет знак, то функция f(x) имеет в точке x₀ экстремум: минимум в том случае, когда производная меняет знак с минуса на плюс, и максимум – когда с плюса на минус. Если же при переходе через критическую точку x₀ производная f’(x) не имеет знака, то функция f(x) в точке x₀ не имеет экстремума.

Вопросы для самоконтроля

1. Каковы признаки возрастания и убывания функции на промежутке?

2. Что такое экстремум функции? Сформулируйте необходимый и достаточный признак существования экстремума.

3. Сформулируйте признаки вогнутости и выпуклости функции.

4. Перечислите порядок действий для нахождения экстремальных точек при помощи первой производной.