Приближенные методы интегрирования

Перейдем теперь к некоторым употребительным методам приближенного (численного) интегрирования, позволяющим находить приближенное значение определенного интеграла от любой непрерывной функции с практически достаточной точностью. Потребность в приближенном вычислении интеграла может возникнуть и тогда, когда не существует или неизвестен метод отыскания точного значения интеграла, и тогда, когда этот метод известен, но неудобен.

Излагаемые приближенные численные методы основаны на следующем; рассматривая интеграл как площадь криволинейной трапеции, мы получим ее приближенное значение, т. е. приближенное значение интеграла, если вычислим площадь другой трапеции, ограничивающая линия которой по возможности мало отклоняется по положению от заданной линии. Вспомогательную линию при этом проводим так, чтобы получилась фигура, площадь которой легко вычисляется.

Итак, вспомним, что геометрический смысл определенного интеграла – площадь криволинейной трапеции. Разобьем отрезок [a, b] на n равных отрезков длиной h = (b-a)/n (рис. 4.2.4).

Рисунок 4.2.4.

Пусть a = x₀ ≤ x₁ ≤ x₂ ≤ … ≤ x_n-1 ≤ x_n = b – абсциссы точек деления и y₀, y₁, y₂, …, y_n-1, y_n – соответствующие ординаты кривой.

Имеем расчетные формулы:

x_i = x₀+h*i, i = 1, 2, …, n,

y_i = f(x_i), i = 1, 2, …, n.

Таким образом, в результате криволинейная трапеция разбилась на ряд вертикальных полосок одной и той же ширины h. Площадь этой трапеции, а следовательно, и исходного интеграла, равна сумме площадей вертикальных полосок. В зависимости от того, как будет вычислена площадь вертикальной полоски, получаются различные формулы для приближенного вычисления интеграла .