Выводы по теме. 1. Производной функции y = f(x) в данной точке х называют предел отношения функции Δy к соответствующему приращению аргумента Δx при условии

1. Производной функции y = f(x) в данной точке х называют предел отношения функции Δ y к соответствующему приращению аргумента Δ x при условии, что Δ x → 0, т. е.

2. Геометрический смысл производной – это тангенс угла наклона касательной к графику этой функции в данной точке к положительному направлению оси Ох. Физический смысл производной – скорость изменения данной функциональной зависимости.

3. Операцию отыскания производной некоторой функции называют дифференцированием функции.

4. Простейшая идея численного дифференцирования состоит в том, что функция f(x) на интересующем отрезке [a, b] заменяется интерполяционным многочленом P(x) (Лагранжа, Ньютона и т. п.) и производная функции приближенного заменяется соответствующей производной интерполяционного многочлена:

f’(x) = P’(x), при a ≤ x ≤ b.

Если для интерполирующей функции P (x) известна погрешность

R(x) = f(x)-P(x),

то погрешность производной интерполирующей функции равна производной от погрешности этой функции.

5. То же самое справедливо и для производных высших порядков.

Например, одна из простейших формул численного дифференцирования – формула Лагранжа, которая задается следующей теоремой:

Если f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на [a, b], то

Т. е. всегда существует касательная, которая параллельна??, где с – точка касания.

Т. е.

А т. к. в формуле присутствуют разности значений функции и точек, то эту формулу относят к так называемым разностным формулам.

Вопросы для самоконтроля

1. Что такое производная, какова ее общая формула?

2. Каков геометрический и физический смысл производной?

3. В каких случаях прибегают к приближенному дифференцированию?

4. Сформулируйте теорему Лагранжа и вытекающую из теоремы формулу.

5. Что такое разностные формулы?