Теорема

Если f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на [a, b], то

Т. е. всегда существует касательная, которая параллельна?? (рис. 4.1.1), где с – точка касания.

Рисунок 4.1.1.

Для программирования несколько более удобным оказывается другой вид этой же формулы:

Здесь просто введены несколько другие обозначения:

x_n-1 = a,

x_n+1 = b,

x_n = c,

f’_n = f’(x_n) = f’(c),

f_n-1 = f(x_n-1) = f(a),

f_n+1 = f(x_n+1) = f(b),

Δ x = b-a.

Таким образом, если Вам надо получить приближенное значение производной некоторой функции в точке С, то достаточно взять некоторую окрестность этой точки (a ≤ c ≤ b) (рис. 4.1.2) и провести вычисления по формуле.

Рисунок 4.1.2.

Обратите внимание, что при этом Вам не потребуется собственно дифференцировать. Достаточно вычислить значения функции в выбранных точках и подставить эти значения, а также длину интервала в формулу.

Т. к. в формуле присутствуют разности значений функции и точек, то эту формулу относят к так называемым разностным формулам.

Рассмотрим пример.