Теорема 3. С помощью конечного числа элементарных преобразований расширенной матрицы системы, ее основная матрица может быть приведена к треугольному виду.

С помощью конечного числа элементарных преобразований расширенной матрицы системы, ее основная матрица может быть приведена к треугольному виду.

3.3.4. Метод Гаусса – прямой и обратный ход

Итак, рассмотрим метод Гаусса. Например, пусть дана расширенная матрица некоторой системы m линейных уравнений c n неизвестными:

Будем считать, что a₁₁ ≠ 0 (если это не так, то достаточно переставить первую и некоторую другую строку расширенной матрицы местами). Проведем следующие элементарные преобразования:

C₂-(a₂₁/a₁₁)*C₁,

...

C_m-(a_m1/a₁₁)*C₁,

т.е. C_i-(a_i1/a₁₁)*C₁, i = 2, 3,..., m.

Т. е. от каждой строки расширенной матрицы (кроме первой) отнимаем первую строку, умноженную на частное от деления первого элемента этой строки на диагональный элемент а₁₁.

В результате получим матрицу:

Т. е. первая строка осталась без изменений, а в столбце под а₁₁ на всех местах оказались нули. Обратите внимание, что преобразования коснулись всех элементов строк, начиная со второй, всей расширенной матрицы системы.

Теперь наша задача состоит в том, чтобы получить нули подо всеми диагональными элементами матрицы А – a_ij, где I = j.

Повторим наши элементарные преобразования, но уже для элемента α ₂₂.

C₁-(a₁₂/α ₂₂)*C₂,

...

C_m-(α _m2/α ₂₂)*C₂,

т.е. C_i-(α _i2/α ₂₂)*C₂, i = 3,..., m.

Т. е. от каждой строки расширенной матрицы (теперь кроме первой и второй) отнимаем вторую строку, умноженную на частное от деления первого элемента этой (текущей) строки на диагональный элемент α ₂₂.

Такие преобразования продолжаются до тех пор, пока матрица не приведется к верхне-треугольному виду. Т. е. под главной диагональю не окажутся все нули:

Вспомнив, что каждая строка представляет собой одно из уравнений линейной системы уравнений, легко заметить, что последнее m-ое уравнение принимает вид:

γ _mn*x_n = δ _m.

Отсюда легко можно найти значение первого корня – x_n = δ _m/γ _mn.

Подставив это значение в предыдущее m-1-е уравнение, легко получим значение x_n-1-ого корня.

Таким образом, поднимаясь до самого верха обратным ходом метода Гаусса, мы последовательно найдем все корни системы уравнений.