Выводы по теме. 1. В ряде случаев весьма удобным приемом решения уравнений является метод итераций (повторений)

1. В ряде случаев весьма удобным приемом решения уравнений является метод итераций (повторений). Для применения этого метода исходное уравнение нужно записывать в форме х = φ (х).

2. Пусть каким-либо способом выделено нулевое приближение корня: x₀ [a, b] – любая точка интервала изоляции корня этого уравнения. Следующие приближения получаются по схеме:

х₁ = φ (x₀),

х₂ = φ (x₁),

х₃ = φ (x₂),

...

х_n = φ (x_n-1).

Если последовательность x₁, x₂, … x_n, … имеет предел , то х является корнем уравнения (1).

Поэтому одно из значений x_n с достаточно большим номером можно принять за приближенное значение корня.

3. Итерационный процесс может быть как сходящимся, так и расходящимся. Справедлива следующая теорема:

Пусть интервал [а, b] является интервалом изоляции корня уравнения х = φ (х) и во всех точках этого интервала производная φ '(х) удовлетворяет неравенству

|φ '(х)| ≤ M < 1.

Если при этом выполняется условие a ≤ φ (x) ≤ b, то итерационный процесс сходится, причем за нулевое приближение x₀ можно брать любую точку интервала [а, b].

Вопросы для самоконтроля

1. В каком виде нужно записать исходное уравнение, чтобы применить к нему метод итераций?

2. При каких условиях итерационный процесс сходится?

3. Если итерационный процесс сходится, какую точку можно брать в качестве нулевого приближения?

4. Можно ли графическим методом найти точку нулевого приближения?